Номер 547, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 547, страница 139.

Условие.

547. Сократите дробь:

1) $ \frac{x-25}{\sqrt{x}-5}$;

2) $ \frac{\sqrt{a}+2}{a-4}$;

3) $ \frac{a-3}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}$;

4) $ \frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$;

5) $ \frac{23-\sqrt{23}}{\sqrt{23}}$;

6) $ \frac{\sqrt{24}-\sqrt{28}}{\sqrt{54}-\sqrt{63}}$;

7) $ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-2\sqrt{ab}+b}$;

8) $ \frac{b-8\sqrt{b}+16}{\sqrt{b}-4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для сокращения дроби $\frac{x - 25}{\sqrt{x} - 5}$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим числитель $x - 25$ в виде разности квадратов, где $x = (\sqrt{x})^2$ и $25 = 5^2$.
$x - 25 = (\sqrt{x})^2 - 5^2 = (\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)$.
Теперь подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)}{\sqrt{x} - 5}$.
Сократим одинаковые множители $(\sqrt{x} - 5)$ в числителе и знаменателе.
Получаем: $\sqrt{x} + 5$.
Ответ: $\sqrt{x} + 5$.

2) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt{a} + 2}{a - 4}$ используем формулу разности квадратов для знаменателя.
Представим знаменатель $a - 4$ в виде разности квадратов: $a = (\sqrt{a})^2$ и $4 = 2^2$.
$a - 4 = (\sqrt{a})^2 - 2^2 = (\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} + 2)$ в числителе и знаменателе.
Получаем: $\frac{1}{\sqrt{a} - 2}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a} - 2}$.

3) Для сокращения дроби $\frac{a - 3}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$ представим числитель $a-3$ как разность квадратов.
$a = (\sqrt{a})^2$ и $3 = (\sqrt{3})^2$.
$a - 3 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{3})(\sqrt{a} + \sqrt{3})$.
Подставим в дробь:
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{3})(\sqrt{a} + \sqrt{3})}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{3})$.
Получаем: $\sqrt{a} - \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{3}$.

4) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}}$.
Разложим $\sqrt{10}$ на множители: $\sqrt{10} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}$.
Подставим в числитель: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки в числителе: $\sqrt{5}(\sqrt{2} + 1)$.
Дробь примет вид:
$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{5}}$.
Сократим $\sqrt{5}$ в числителе и знаменателе.
Получаем: $\sqrt{2} + 1$.
Ответ: $\sqrt{2} + 1$.

5) Рассмотрим дробь $\frac{23 - \sqrt{23}}{\sqrt{23}}$.
Представим число $23$ в числителе как $(\sqrt{23})^2$.
Тогда числитель равен $(\sqrt{23})^2 - \sqrt{23}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{23}$ за скобки: $\sqrt{23}(\sqrt{23} - 1)$.
Дробь примет вид:
$\frac{\sqrt{23}(\sqrt{23} - 1)}{\sqrt{23}}$.
Сократим $\sqrt{23}$.
Получаем: $\sqrt{23} - 1$.
Ответ: $\sqrt{23} - 1$.

6) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{24} - \sqrt{28}}{\sqrt{54} - \sqrt{63}}$.
Упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня.
Числитель:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Знаменатель:
$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$.
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$.
Подставим упрощенные значения в дробь:
$\frac{2\sqrt{6} - 2\sqrt{7}}{3\sqrt{6} - 3\sqrt{7}}$.
Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:
$\frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{7})}{3(\sqrt{6} - \sqrt{7})}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{6} - \sqrt{7})$.
Получаем: $\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

7) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - 2\sqrt{ab} + b}$.
Знаменатель $a - 2\sqrt{ab} + b$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Пусть $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{b}$. Тогда $x^2 = a$, $y^2 = b$, и $2xy = 2\sqrt{a}\sqrt{b} = 2\sqrt{ab}$.
Следовательно, $a - 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$.
Подставим это в дробь:
$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$.
Получаем: $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$.

8) Рассмотрим дробь $\frac{b - 8\sqrt{b} + 16}{\sqrt{b} - 4}$.
Числитель $b - 8\sqrt{b} + 16$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Пусть $x = \sqrt{b}$ и $y = 4$. Тогда $x^2 = b$, $y^2 = 16$, и $2xy = 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 4 = 8\sqrt{b}$.
Следовательно, $b - 8\sqrt{b} + 16 = (\sqrt{b} - 4)^2$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(\sqrt{b} - 4)^2}{\sqrt{b} - 4}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{b} - 4)$.
Получаем: $\sqrt{b} - 4$.
Ответ: $\sqrt{b} - 4$.