Номер 546, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 546, страница 139.
№546 (с. 139)
Условие. №546 (с. 139)
скриншот условия

546. Сократите дробь:
1) $\frac{a^2 - 7}{a + \sqrt{7}};$
2) $\frac{\sqrt{3} - b}{3 - b^2};$
3) $\frac{c - 9}{\sqrt{c} - 3};$
4) $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}};$
5) $\frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{25a - 49b};$
6) $\frac{100a^2 - 9b}{10a + 3\sqrt{b}};$
7) $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}};$
8) $\frac{\sqrt{35} + \sqrt{10}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}};$
9) $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{5 - \sqrt{10}};$
10) $\frac{13 - \sqrt{13}}{\sqrt{13}};$
11) $\frac{a + 2\sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}};$
12) $\frac{4b^2 - 4b\sqrt{c} + c}{2b - \sqrt{c}}.$
Решение 1. №546 (с. 139)












Решение 2. №546 (с. 139)

Решение 3. №546 (с. 139)

Решение 4. №546 (с. 139)

Решение 5. №546 (с. 139)

Решение 7. №546 (с. 139)

Решение 8. №546 (с. 139)
1)
Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 7}{a + \sqrt{7}}$, представим числитель как разность квадратов, учитывая, что $7 = (\sqrt{7})^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^2 - 7 = a^2 - (\sqrt{7})^2 = (a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})$.
Подставим разложенный числитель обратно в дробь и выполним сокращение:
$\frac{(a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})}{a + \sqrt{7}} = a - \sqrt{7}$.
Ответ: $a - \sqrt{7}$
2)
Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{3} - b}{3 - b^2}$, представим знаменатель как разность квадратов, где $3 = (\sqrt{3})^2$.
Используем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$3 - b^2 = (\sqrt{3})^2 - b^2 = (\sqrt{3} - b)(\sqrt{3} + b)$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь и сократим одинаковые множители:
$\frac{\sqrt{3} - b}{(\sqrt{3} - b)(\sqrt{3} + b)} = \frac{1}{\sqrt{3} + b}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3} + b}$
3)
В дроби $\frac{c - 9}{\sqrt{c} - 3}$ представим числитель $c-9$ как разность квадратов. Так как $c = (\sqrt{c})^2$ и $9 = 3^2$, получаем:
$c - 9 = (\sqrt{c})^2 - 3^2 = (\sqrt{c} - 3)(\sqrt{c} + 3)$.
Теперь сократим дробь:
$\frac{(\sqrt{c} - 3)(\sqrt{c} + 3)}{\sqrt{c} - 3} = \sqrt{c} + 3$.
Ответ: $\sqrt{c} + 3$
4)
Для сокращения дроби $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ используем формулу разности квадратов для числителя, представив $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.
$a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Подставим в дробь и сократим:
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$.
Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$
5)
В дроби $\frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{25a - 49b}$ разложим знаменатель на множители как разность квадратов.
$25a - 49b = (5\sqrt{a})^2 - (7\sqrt{b})^2 = (5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})$.
Теперь сократим дробь:
$\frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{(5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})} = \frac{1}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$.
Ответ: $\frac{1}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$
6)
Для сокращения дроби $\frac{100a^2 - 9b}{10a + 3\sqrt{b}}$ разложим числитель на множители по формуле разности квадратов.
$100a^2 - 9b = (10a)^2 - (3\sqrt{b})^2 = (10a - 3\sqrt{b})(10a + 3\sqrt{b})$.
Подставим в дробь и выполним сокращение:
$\frac{(10a - 3\sqrt{b})(10a + 3\sqrt{b})}{10a + 3\sqrt{b}} = 10a - 3\sqrt{b}$.
Ответ: $10a - 3\sqrt{b}$
7)
В дроби $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}$ вынесем общий множитель в знаменателе.
$\sqrt{6} - \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{3} = \sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)$.
Подставим преобразованный знаменатель в дробь и сократим:
$\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$
8)
В дроби $\frac{\sqrt{35} + \sqrt{10}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}}$ вынесем общий множитель в числителе.
$\sqrt{35} + \sqrt{10} = \sqrt{5 \cdot 7} + \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{5}\sqrt{7} + \sqrt{5}\sqrt{2} = \sqrt{5}(\sqrt{7} + \sqrt{2})$.
Сократим дробь:
$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$
9)
Для сокращения дроби $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{5 - \sqrt{10}}$ вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе: $\sqrt{15} - \sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.
В знаменателе: $5 - \sqrt{10} = (\sqrt{5})^2 - \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.
Подставим преобразованные выражения в дробь и сократим:
$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{5}$
10)
Чтобы сократить дробь $\frac{13 - \sqrt{13}}{\sqrt{13}}$, вынесем в числителе за скобки множитель $\sqrt{13}$.
$13 - \sqrt{13} = (\sqrt{13})^2 - \sqrt{13} = \sqrt{13}(\sqrt{13} - 1)$.
Сократим дробь:
$\frac{\sqrt{13}(\sqrt{13} - 1)}{\sqrt{13}} = \sqrt{13} - 1$.
Ответ: $\sqrt{13} - 1$
11)
В дроби $\frac{a + 2\sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ числитель представляет собой полный квадрат суммы.
Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$a + 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$.
Подставим в дробь и сократим:
$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
Ответ: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$
12)
В дроби $\frac{4b^2 - 4b\sqrt{c} + c}{2b - \sqrt{c}}$ числитель является полным квадратом разности.
Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$4b^2 - 4b\sqrt{c} + c = (2b)^2 - 2(2b)(\sqrt{c}) + (\sqrt{c})^2 = (2b - \sqrt{c})^2$.
Теперь сократим дробь:
$\frac{(2b - \sqrt{c})^2}{2b - \sqrt{c}} = 2b - \sqrt{c}$.
Ответ: $2b - \sqrt{c}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 546 расположенного на странице 139 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №546 (с. 139), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.