Номер 546, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 546, страница 139.

Условие.

546. Сократите дробь:

1) $\frac{a^2 - 7}{a + \sqrt{7}};$

2) $\frac{\sqrt{3} - b}{3 - b^2};$

3) $\frac{c - 9}{\sqrt{c} - 3};$

4) $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}};$

5) $\frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{25a - 49b};$

6) $\frac{100a^2 - 9b}{10a + 3\sqrt{b}};$

7) $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}};$

8) $\frac{\sqrt{35} + \sqrt{10}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}};$

9) $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{5 - \sqrt{10}};$

10) $\frac{13 - \sqrt{13}}{\sqrt{13}};$

11) $\frac{a + 2\sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}};$

12) $\frac{4b^2 - 4b\sqrt{c} + c}{2b - \sqrt{c}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 7}{a + \sqrt{7}}$, представим числитель как разность квадратов, учитывая, что $7 = (\sqrt{7})^2$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$a^2 - 7 = a^2 - (\sqrt{7})^2 = (a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и выполним сокращение:

$\frac{(a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})}{a + \sqrt{7}} = a - \sqrt{7}$.

Ответ: $a - \sqrt{7}$

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{3} - b}{3 - b^2}$, представим знаменатель как разность квадратов, где $3 = (\sqrt{3})^2$.

Используем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$3 - b^2 = (\sqrt{3})^2 - b^2 = (\sqrt{3} - b)(\sqrt{3} + b)$.

Подставим разложенный знаменатель в дробь и сократим одинаковые множители:

$\frac{\sqrt{3} - b}{(\sqrt{3} - b)(\sqrt{3} + b)} = \frac{1}{\sqrt{3} + b}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3} + b}$

3)

В дроби $\frac{c - 9}{\sqrt{c} - 3}$ представим числитель $c-9$ как разность квадратов. Так как $c = (\sqrt{c})^2$ и $9 = 3^2$, получаем:

$c - 9 = (\sqrt{c})^2 - 3^2 = (\sqrt{c} - 3)(\sqrt{c} + 3)$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{(\sqrt{c} - 3)(\sqrt{c} + 3)}{\sqrt{c} - 3} = \sqrt{c} + 3$.

Ответ: $\sqrt{c} + 3$

4)

Для сокращения дроби $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ используем формулу разности квадратов для числителя, представив $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.

$a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$

5)

В дроби $\frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{25a - 49b}$ разложим знаменатель на множители как разность квадратов.

$25a - 49b = (5\sqrt{a})^2 - (7\sqrt{b})^2 = (5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{(5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})} = \frac{1}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$.

Ответ: $\frac{1}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$

6)

Для сокращения дроби $\frac{100a^2 - 9b}{10a + 3\sqrt{b}}$ разложим числитель на множители по формуле разности квадратов.

$100a^2 - 9b = (10a)^2 - (3\sqrt{b})^2 = (10a - 3\sqrt{b})(10a + 3\sqrt{b})$.

Подставим в дробь и выполним сокращение:

$\frac{(10a - 3\sqrt{b})(10a + 3\sqrt{b})}{10a + 3\sqrt{b}} = 10a - 3\sqrt{b}$.

Ответ: $10a - 3\sqrt{b}$

7)

В дроби $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}$ вынесем общий множитель в знаменателе.

$\sqrt{6} - \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{3} = \sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)$.

Подставим преобразованный знаменатель в дробь и сократим:

$\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

8)

В дроби $\frac{\sqrt{35} + \sqrt{10}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}}$ вынесем общий множитель в числителе.

$\sqrt{35} + \sqrt{10} = \sqrt{5 \cdot 7} + \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{5}\sqrt{7} + \sqrt{5}\sqrt{2} = \sqrt{5}(\sqrt{7} + \sqrt{2})$.

Сократим дробь:

$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

9)

Для сокращения дроби $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{5 - \sqrt{10}}$ вынесем общие множители в числителе и знаменателе.

В числителе: $\sqrt{15} - \sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.

В знаменателе: $5 - \sqrt{10} = (\sqrt{5})^2 - \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.

Подставим преобразованные выражения в дробь и сократим:

$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{5}$

10)

Чтобы сократить дробь $\frac{13 - \sqrt{13}}{\sqrt{13}}$, вынесем в числителе за скобки множитель $\sqrt{13}$.

$13 - \sqrt{13} = (\sqrt{13})^2 - \sqrt{13} = \sqrt{13}(\sqrt{13} - 1)$.

Сократим дробь:

$\frac{\sqrt{13}(\sqrt{13} - 1)}{\sqrt{13}} = \sqrt{13} - 1$.

Ответ: $\sqrt{13} - 1$

11)

В дроби $\frac{a + 2\sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ числитель представляет собой полный квадрат суммы.

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$a + 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$.

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$

12)

В дроби $\frac{4b^2 - 4b\sqrt{c} + c}{2b - \sqrt{c}}$ числитель является полным квадратом разности.

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$4b^2 - 4b\sqrt{c} + c = (2b)^2 - 2(2b)(\sqrt{c}) + (\sqrt{c})^2 = (2b - \sqrt{c})^2$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{(2b - \sqrt{c})^2}{2b - \sqrt{c}} = 2b - \sqrt{c}$.

Ответ: $2b - \sqrt{c}$