Номер 539, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 539, страница 138.

Условие.

539. Выполните умножение:

1) $(\sqrt{7} + 3)(3\sqrt{7} - 1)$;

2) $(4\sqrt{2} - \sqrt{3})(2\sqrt{2} + 5\sqrt{3})$;

3) $(\sqrt{p} - q)(\sqrt{p} + q)$;

4) $(6 - \sqrt{13})(6 + \sqrt{13})$;

5) $(\sqrt{5} - x)(\sqrt{5} + x)$;

6) $(\sqrt{19} + \sqrt{17})(\sqrt{19} - \sqrt{17})$;

7) $(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2$;

8) $(3 - 2\sqrt{15})^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Раскроем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй:
$(\sqrt{7} + 3)(3\sqrt{7} - 1) = \sqrt{7} \cdot 3\sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 1 + 3 \cdot 3\sqrt{7} - 3 \cdot 1 = 3 \cdot (\sqrt{7})^2 - \sqrt{7} + 9\sqrt{7} - 3 = 3 \cdot 7 + 8\sqrt{7} - 3 = 21 + 8\sqrt{7} - 3 = 18 + 8\sqrt{7}$.
Ответ: $18 + 8\sqrt{7}$.

2) Раскроем скобки по правилу умножения многочленов:
$(4\sqrt{2} - \sqrt{3})(2\sqrt{2} + 5\sqrt{3}) = 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = 4 \cdot 2 \cdot (\sqrt{2})^2 + 20\sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 5(\sqrt{3})^2 = 8 \cdot 2 + 18\sqrt{6} - 5 \cdot 3 = 16 + 18\sqrt{6} - 15 = 1 + 18\sqrt{6}$.
Ответ: $1 + 18\sqrt{6}$.

3) Здесь используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a=\sqrt{p}$, $b=q$.
$(\sqrt{p} - q)(\sqrt{p} + q) = (\sqrt{p})^2 - q^2 = p - q^2$.
Ответ: $p - q^2$.

4) Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=6$, $b=\sqrt{13}$.
$(6 - \sqrt{13})(6 + \sqrt{13}) = 6^2 - (\sqrt{13})^2 = 36 - 13 = 23$.
Ответ: $23$.

5) Снова используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=\sqrt{5}$, $b=x$.
$(\sqrt{5} - x)(\sqrt{5} + x) = (\sqrt{5})^2 - x^2 = 5 - x^2$.
Ответ: $5 - x^2$.

6) И снова формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=\sqrt{19}$, $b=\sqrt{17}$.
$(\sqrt{19} + \sqrt{17})(\sqrt{19} - \sqrt{17}) = (\sqrt{19})^2 - (\sqrt{17})^2 = 19 - 17 = 2$.
Ответ: $2$.

7) Используем формулу "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=\sqrt{6}$, $b=\sqrt{2}$.
$(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2\sqrt{12} + 2 = 8 + 2\sqrt{4 \cdot 3} = 8 + 2 \cdot 2\sqrt{3} = 8 + 4\sqrt{3}$.
Ответ: $8 + 4\sqrt{3}$.

8) Используем формулу "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=3$, $b=2\sqrt{15}$.
$(3 - 2\sqrt{15})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{15} + (2\sqrt{15})^2 = 9 - 12\sqrt{15} + 4 \cdot (\sqrt{15})^2 = 9 - 12\sqrt{15} + 4 \cdot 15 = 9 - 12\sqrt{15} + 60 = 69 - 12\sqrt{15}$.
Ответ: $69 - 12\sqrt{15}$.