Номер 537, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 537, страница 138.

Условие.

537. Упростите выражение:

1) $\sqrt{7}(\sqrt{7}-\sqrt{28});$

2) $(\sqrt{18}+\sqrt{72})\cdot \sqrt{2};$

3) $(4\sqrt{3}-\sqrt{75}+4)\cdot 3\sqrt{3};$

4) $(\sqrt{600}+\sqrt{6}-\sqrt{24})\cdot \sqrt{6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{7}(\sqrt{7} - \sqrt{28})$, сначала упростим член $\sqrt{28}$. Мы можем вынести множитель из-под знака корня: $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4}\sqrt{7} = 2\sqrt{7}$. Подставим это обратно в исходное выражение: $\sqrt{7}(\sqrt{7} - 2\sqrt{7})$. Теперь упростим выражение в скобках: $\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = (1-2)\sqrt{7} = -\sqrt{7}$. Наконец, выполним умножение: $\sqrt{7} \cdot (-\sqrt{7}) = -(\sqrt{7})^2 = -7$. Ответ: -7

2) Рассмотрим выражение $(\sqrt{18} + \sqrt{72}) \cdot \sqrt{2}$. Сначала упростим корни в скобках. Для $\sqrt{18}$: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9}\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. Для $\sqrt{72}$: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36}\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. Подставим упрощенные корни в выражение: $(3\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$. Сложим члены в скобках: $3\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = (3+6)\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$. Теперь умножим результат на $\sqrt{2}$: $9\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$. Ответ: 18

3) Упростим выражение $(4\sqrt{3} - \sqrt{75} + 4) \cdot 3\sqrt{3}$. Начнем с упрощения $\sqrt{75}$: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25}\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$. Подставим это значение в выражение: $(4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 4) \cdot 3\sqrt{3}$. Упростим выражение в скобках: $4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 4 = (4-5)\sqrt{3} + 4 = -\sqrt{3} + 4$. Теперь умножим полученное выражение на $3\sqrt{3}$: $(4 - \sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{3}$. Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения: $4 \cdot 3\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3} - 3 \cdot (\sqrt{3})^2 = 12\sqrt{3} - 3 \cdot 3 = 12\sqrt{3} - 9$. Ответ: $12\sqrt{3} - 9$

4) Упростим выражение $(\sqrt{600} + \sqrt{6} - \sqrt{24}) \cdot \sqrt{6}$. Сначала упростим корни в скобках, где это возможно. Для $\sqrt{600}$: $\sqrt{600} = \sqrt{100 \cdot 6} = \sqrt{100}\sqrt{6} = 10\sqrt{6}$. Для $\sqrt{24}$: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4}\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$. Подставим упрощенные значения в исходное выражение: $(10\sqrt{6} + \sqrt{6} - 2\sqrt{6}) \cdot \sqrt{6}$. Сложим и вычтем члены в скобках: $10\sqrt{6} + \sqrt{6} - 2\sqrt{6} = (10+1-2)\sqrt{6} = 9\sqrt{6}$. Наконец, умножим результат на $\sqrt{6}$: $9\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 9 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$. Ответ: 54