Номер 534, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 534, страница 137.

Условие.

534. Рациональным или иррациональным является значение выражения:

1) $\sqrt{48 - 6 - 4\sqrt{3}};$

2) $\sqrt{162 - 9\sqrt{2} + \sqrt{27}}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы определить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным, необходимо его упростить. Запись $\sqrt{48 - 6 - 4\sqrt{3}}$ скорее всего содержит опечатку, и имелось в виду выражение $\sqrt{48} - 6 - 4\sqrt{3}$, где корень относится только к числу 48. Решим задачу в этой, более вероятной, постановке.

Упростим $\sqrt{48}$, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

Подставим это значение в выражение:

$4\sqrt{3} - 6 - 4\sqrt{3}$

Приведем подобные слагаемые:

$(4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) - 6 = 0 - 6 = -6$

Результатом является целое число -6. Все целые числа являются рациональными (например, $-6 = \frac{-6}{1}$).

Ответ: рациональным.

2)

Чтобы определить, является ли значение выражения $\sqrt{162} - 9\sqrt{2} + \sqrt{27}$ рациональным или иррациональным, упростим его.

Упростим каждый корень, вынося множитель из-под знака корня.

$\sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$9\sqrt{2} - 9\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$

Приведем подобные слагаемые:

$(9\sqrt{2} - 9\sqrt{2}) + 3\sqrt{3} = 0 + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Значение выражения равно $3\sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3}$ — иррациональное число, его произведение на ненулевое рациональное число (3) также является иррациональным.

Ответ: иррациональным.