Номер 536, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 536, страница 138.

Условие.

536. Упростите выражение:

1) $\sqrt{2}(\sqrt{50}+\sqrt{8});$

2) $(\sqrt{3}-\sqrt{12})\cdot\sqrt{3};$

3) $(3\sqrt{5}-4\sqrt{3})\cdot\sqrt{5};$

4) $2\sqrt{2}(3\sqrt{18}-\frac{1}{4}\sqrt{2}+\sqrt{32}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{2}(\sqrt{50} + \sqrt{8})$, применим распределительный закон умножения. Умножим $\sqrt{2}$ на каждый член в скобках:
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{50} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
Используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, получаем:
$\sqrt{2 \cdot 50} + \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{100} + \sqrt{16}$
Теперь извлечем квадратные корни:
$10 + 4 = 14$
Ответ: 14

2) Чтобы упростить выражение $(\sqrt{3} - \sqrt{12}) \cdot \sqrt{3}$, применим распределительный закон умножения. Умножим $\sqrt{3}$ на каждый член в скобках:
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$
Используя свойства $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ и $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, получаем:
$3 - \sqrt{12 \cdot 3} = 3 - \sqrt{36}$
Извлечем квадратный корень:
$3 - 6 = -3$
Ответ: -3

3) Чтобы упростить выражение $(3\sqrt{5} - 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{5}$, применим распределительный закон умножения. Умножим $\sqrt{5}$ на каждый член в скобках:
$3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$
Используя свойства корней, получаем:
$3 \cdot (\sqrt{5})^2 - 4\sqrt{3 \cdot 5} = 3 \cdot 5 - 4\sqrt{15}$
Выполним умножение:
$15 - 4\sqrt{15}$
Так как 15 не является полным квадратом, дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $15 - 4\sqrt{15}$

4) Для упрощения выражения $2\sqrt{2}(3\sqrt{18} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + \sqrt{32})$ сначала упростим корни внутри скобок, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
Подставим упрощенные выражения обратно в скобки:
$2\sqrt{2}(3 \cdot 3\sqrt{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}(9\sqrt{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + 4\sqrt{2})$
Теперь приведем подобные слагаемые внутри скобок:
$9\sqrt{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = (9 - \frac{1}{4} + 4)\sqrt{2} = (13 - \frac{1}{4})\sqrt{2} = (\frac{52-1}{4})\sqrt{2} = \frac{51}{4}\sqrt{2}$
Теперь умножим результат на множитель перед скобками $2\sqrt{2}$:
$2\sqrt{2} \cdot \frac{51}{4}\sqrt{2} = (2 \cdot \frac{51}{4}) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = \frac{51}{2} \cdot 2 = 51$
Ответ: 51