Номер 531, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 531, страница 137.

Условие.

531. Упростите выражение:

1) $ \sqrt{9a} + \sqrt{25a} - \sqrt{49a} $;

2) $ \sqrt{64b} - \frac{1}{6}\sqrt{36b} $;

3) $ 2\sqrt{0.04c} - 0.3\sqrt{16c} + \frac{1}{3}\sqrt{0.81c} $;

4) $ 0.4\sqrt{100m} + 15\sqrt{\frac{4}{9}m} - 1.2\sqrt{2.25m} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{9a} + \sqrt{25a} - \sqrt{49a}$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня из произведения: $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$). В данном случае, переменная $a$ должна быть неотрицательной, то есть $a \ge 0$.
Вынесем множители из-под знака корня для каждого слагаемого:
$\sqrt{9a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a} = 3\sqrt{a}$
$\sqrt{25a} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a} = 5\sqrt{a}$
$\sqrt{49a} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a} = 7\sqrt{a}$
Подставим полученные выражения в исходное:
$3\sqrt{a} + 5\sqrt{a} - 7\sqrt{a}$
Теперь приведем подобные слагаемые, сложив коэффициенты при $\sqrt{a}$:
$(3 + 5 - 7)\sqrt{a} = (8 - 7)\sqrt{a} = 1\sqrt{a} = \sqrt{a}$
Ответ: $\sqrt{a}$

2) Упростим выражение $\sqrt{64b} - \frac{1}{6}\sqrt{36b}$. Подразумевается, что $b \ge 0$.
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{64b} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{b} = 8\sqrt{b}$
$\frac{1}{6}\sqrt{36b} = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{b} = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b}$
Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$8\sqrt{b} - \sqrt{b}$
Приведем подобные слагаемые:
$(8 - 1)\sqrt{b} = 7\sqrt{b}$
Ответ: $7\sqrt{b}$

3) Упростим выражение $2\sqrt{0,04c} - 0,3\sqrt{16c} + \frac{1}{3}\sqrt{0,81c}$. Подразумевается, что $c \ge 0$.
Вынесем числовые множители из-под знака корня для каждого члена выражения:
$2\sqrt{0,04c} = 2 \cdot \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{c} = 2 \cdot 0,2 \cdot \sqrt{c} = 0,4\sqrt{c}$
$0,3\sqrt{16c} = 0,3 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{c} = 0,3 \cdot 4 \cdot \sqrt{c} = 1,2\sqrt{c}$
$\frac{1}{3}\sqrt{0,81c} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{c} = \frac{1}{3} \cdot 0,9 \cdot \sqrt{c} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} \cdot \sqrt{c} = \frac{3}{10}\sqrt{c} = 0,3\sqrt{c}$
Теперь подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение и приведем подобные:
$0,4\sqrt{c} - 1,2\sqrt{c} + 0,3\sqrt{c} = (0,4 - 1,2 + 0,3)\sqrt{c} = (0,7 - 1,2)\sqrt{c} = -0,5\sqrt{c}$
Ответ: $-0,5\sqrt{c}$

4) Упростим выражение $0,4\sqrt{100m} + 15\sqrt{\frac{4}{9}m} - 1,2\sqrt{2,25m}$. Подразумевается, что $m \ge 0$.
Вынесем множители из-под знака корня для каждого слагаемого:
$0,4\sqrt{100m} = 0,4 \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{m} = 0,4 \cdot 10 \cdot \sqrt{m} = 4\sqrt{m}$
$15\sqrt{\frac{4}{9}m} = 15 \cdot \sqrt{\frac{4}{9}} \cdot \sqrt{m} = 15 \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{m} = 15 \cdot \frac{2}{3} \cdot \sqrt{m} = 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{m} = 10\sqrt{m}$
$1,2\sqrt{2,25m} = 1,2 \cdot \sqrt{2,25} \cdot \sqrt{m} = 1,2 \cdot 1,5 \cdot \sqrt{m} = 1,8\sqrt{m}$
Подставим полученные значения в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$4\sqrt{m} + 10\sqrt{m} - 1,8\sqrt{m} = (4 + 10 - 1,8)\sqrt{m} = (14 - 1,8)\sqrt{m} = 12,2\sqrt{m}$
Ответ: $12,2\sqrt{m}$