Номер 554, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 554, страница 140.

Условие.

554. Найдите значение выражения:

1) $(3\sqrt{2} + 1)(\sqrt{8} - 2)$;

2) $(3-2\sqrt{7})^2 + (3+2\sqrt{7})^2$;

3) $(10-4\sqrt{6})(2+\sqrt{6})^2$;

4) $(\sqrt{9-4\sqrt{2}} + \sqrt{9+4\sqrt{2}})^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(3\sqrt{2} + 1)(\sqrt{8} - 2)$

Сначала упростим выражение в скобках. Мы знаем, что $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$(3\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{2} - 2)$

Теперь раскроем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй (по правилу $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd)$):

$3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \cdot (-2) + 1 \cdot 2\sqrt{2} + 1 \cdot (-2)$

Выполним умножение:

$6 \cdot (\sqrt{2})^2 - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2$

$6 \cdot 2 - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2$

$12 - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(12 - 2) + (-6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = 10 - 4\sqrt{2}$

Ответ: $10 - 4\sqrt{2}$

2) $(3 - 2\sqrt{7})^2 + (3 + 2\sqrt{7})^2$

Для решения используем формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Раскроем первую скобку:

$(3 - 2\sqrt{7})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 9 - 12\sqrt{7} + 4 \cdot 7 = 9 - 12\sqrt{7} + 28 = 37 - 12\sqrt{7}$

Раскроем вторую скобку:

$(3 + 2\sqrt{7})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 9 + 12\sqrt{7} + 4 \cdot 7 = 9 + 12\sqrt{7} + 28 = 37 + 12\sqrt{7}$

Теперь сложим полученные результаты:

$(37 - 12\sqrt{7}) + (37 + 12\sqrt{7}) = 37 - 12\sqrt{7} + 37 + 12\sqrt{7}$

Слагаемые $-12\sqrt{7}$ и $12\sqrt{7}$ взаимно уничтожаются:

$37 + 37 = 74$

Ответ: 74

3) $(10 - 4\sqrt{6})(2 + \sqrt{6})^2$

Сначала возведем в квадрат вторую скобку, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(2 + \sqrt{6})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 4 + 4\sqrt{6} + 6 = 10 + 4\sqrt{6}$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(10 - 4\sqrt{6})(10 + 4\sqrt{6})$

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=10$ и $b=4\sqrt{6}$.

Применим формулу:

$10^2 - (4\sqrt{6})^2 = 100 - (4^2 \cdot (\sqrt{6})^2) = 100 - (16 \cdot 6) = 100 - 96 = 4$

Ответ: 4

4) $(\sqrt{9 - 4\sqrt{2}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}})^2$

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{9 - 4\sqrt{2}}$ и $b = \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}$.

Раскроем скобки:

$(\sqrt{9 - 4\sqrt{2}})^2 + 2 \cdot \sqrt{9 - 4\sqrt{2}} \cdot \sqrt{9 + 4\sqrt{2}} + (\sqrt{9 + 4\sqrt{2}})^2$

Упростим первое и третье слагаемые:

$(9 - 4\sqrt{2}) + 2 \cdot \sqrt{(9 - 4\sqrt{2})(9 + 4\sqrt{2})} + (9 + 4\sqrt{2})$

Сгруппируем слагаемые:

$(9 + 9) + (-4\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) + 2 \cdot \sqrt{(9 - 4\sqrt{2})(9 + 4\sqrt{2})}$

$18 + 0 + 2 \cdot \sqrt{9^2 - (4\sqrt{2})^2}$

Выражение под корнем является разностью квадратов:

$18 + 2 \cdot \sqrt{81 - (16 \cdot 2)} = 18 + 2 \cdot \sqrt{81 - 32} = 18 + 2 \cdot \sqrt{49}$

Вычислим значение корня и найдем окончательный результат:

$18 + 2 \cdot 7 = 18 + 14 = 32$

Ответ: 32