Номер 562, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 562, страница 141.

Условие.

562. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} - 4}{\sqrt{a}};$

2) $\frac{\sqrt{a} + 1}{a - \sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{ab} - b};$

3) $\frac{\sqrt{x}}{y - 2\sqrt{y}} : \frac{\sqrt{x}}{3\sqrt{y} - 6};$

4) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} : \left( \frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} \right);$

5) $\left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4\sqrt{x}}{x - 1} \right) \cdot \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1};$

6) $\frac{a - 64}{\sqrt{a} + 3} \cdot \frac{1}{a + 8\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a} + 8}{a - 3\sqrt{a}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}+1} - \frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}+1}$ и $\frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}}$ это $\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)$.

$\frac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}+1} - \frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} - \frac{(\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3) - (\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\sqrt{a}(\sqrt{a}-3) = a - 3\sqrt{a}$

$(\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+1) = \sqrt{a}\cdot\sqrt{a} + 1\cdot\sqrt{a} - 4\cdot\sqrt{a} - 4\cdot1 = a - 3\sqrt{a} - 4$

Теперь выполним вычитание в числителе:

$(a - 3\sqrt{a}) - (a - 3\sqrt{a} - 4) = a - 3\sqrt{a} - a + 3\sqrt{a} + 4 = 4$

Подставим полученное значение в числитель дроби:

$\frac{4}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} = \frac{4}{a+\sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{4}{a+\sqrt{a}}$

2) $\frac{\sqrt{a}+1}{a-\sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{ab}-b}$

Сначала упростим знаменатели дробей, вынеся общие множители за скобки:

$a-\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{a} - \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$

$\sqrt{ab}-b = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} - \sqrt{b}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$

Общий знаменатель равен $\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = \sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$. Приведем дроби к нему:

$\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{b}+1)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+1) - \sqrt{a}(\sqrt{b}+1)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\sqrt{b}\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{a}\sqrt{b} - \sqrt{a} = \sqrt{b} - \sqrt{a} = -(\sqrt{a}-\sqrt{b})$

Подставим результат в дробь и сократим:

$\frac{-(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = -\frac{1}{\sqrt{ab}}$

Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{ab}}$

3) $\frac{\sqrt{x}}{y-2\sqrt{y}} : \frac{\sqrt{x}}{3\sqrt{y}-6}$

Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь:

$\frac{\sqrt{x}}{y-2\sqrt{y}} \cdot \frac{3\sqrt{y}-6}{\sqrt{x}}$

Вынесем общие множители в знаменателе первой дроби и числителе второй:

$y-2\sqrt{y} = \sqrt{y}(\sqrt{y}-2)$

$3\sqrt{y}-6 = 3(\sqrt{y}-2)$

Подставим в выражение:

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}(\sqrt{y}-2)} \cdot \frac{3(\sqrt{y}-2)}{\sqrt{x}}$

Сократим одинаковые множители $\sqrt{x}$ и $(\sqrt{y}-2)$:

$\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{\sqrt{y}}$

Ответ: $\frac{3}{\sqrt{y}}$

4) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} : \left(\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}\right)$

Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель $\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})$:

$\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n})}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})} + \frac{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}$

Сложим числители. В первом слагаемом используем формулу разности квадратов $(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n}) = m-n$:

$\frac{(m-n)+n}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})} = \frac{m}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}$

Теперь выполним деление:

$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} : \frac{m}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}{m}$

Сократим $(\sqrt{m}-\sqrt{n})$:

$\frac{\sqrt{m}\sqrt{n}}{m} = \frac{\sqrt{mn}}{m}$

Так как $m = (\sqrt{m})^2$, можно упростить дальше:

$\frac{\sqrt{m}\sqrt{n}}{(\sqrt{m})^2} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}$

5) $\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{4\sqrt{x}}{x-1}\right) \cdot \frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что $x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$. Это будет общий знаменатель.

$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} - \frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$

Выполним вычитание в числителе:

$\frac{(\sqrt{x}+1)^2 - 4\sqrt{x}}{x-1} = \frac{(x+2\sqrt{x}+1) - 4\sqrt{x}}{x-1} = \frac{x-2\sqrt{x}+1}{x-1}$

Числитель $x-2\sqrt{x}+1$ является полным квадратом $(\sqrt{x}-1)^2$. Подставим и сократим:

$\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$

Теперь умножим полученный результат на вторую часть выражения:

$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

Вынесем $\sqrt{x}$ в числителе второй дроби: $x+\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+1)$.

$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1}$

Сократим общие множители $(\sqrt{x}-1)$ и $(\sqrt{x}+1)$:

$\sqrt{x}$

Ответ: $\sqrt{x}$

6) $\frac{a-64}{\sqrt{a}+3} \cdot \frac{1}{a+8\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}+8}{a-3\sqrt{a}}$

Рассмотрим первое слагаемое. Разложим на множители $a-64 = (\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}+8)$ и $a+8\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+8)$:

$\frac{(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}+8)}{\sqrt{a}+3} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+8)} = \frac{\sqrt{a}-8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)}$

Рассмотрим второе слагаемое. Разложим на множители знаменатель $a-3\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-3)$:

$\frac{\sqrt{a}+8}{a-3\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}+8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{\sqrt{a}-8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)} - \frac{\sqrt{a}+8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}$

Общий знаменатель: $\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-3) = \sqrt{a}(a-9)$.

$\frac{(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}-3)}{\sqrt{a}(a-9)} - \frac{(\sqrt{a}+8)(\sqrt{a}+3)}{\sqrt{a}(a-9)} = \frac{(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}-3) - (\sqrt{a}+8)(\sqrt{a}+3)}{\sqrt{a}(a-9)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}-3) = a - 3\sqrt{a} - 8\sqrt{a} + 24 = a - 11\sqrt{a} + 24$

$(\sqrt{a}+8)(\sqrt{a}+3) = a + 3\sqrt{a} + 8\sqrt{a} + 24 = a + 11\sqrt{a} + 24$

Вычтем второе из первого:

$(a - 11\sqrt{a} + 24) - (a + 11\sqrt{a} + 24) = a - 11\sqrt{a} + 24 - a - 11\sqrt{a} - 24 = -22\sqrt{a}$

Подставим результат в дробь и сократим:

$\frac{-22\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-9)} = \frac{-22}{a-9}$

Ответ: $\frac{-22}{a-9}$