Номер 562, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 562, страница 141.
№562 (с. 141)
Условие. №562 (с. 141)
скриншот условия

562. Упростите выражение:
1) $\frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} - 4}{\sqrt{a}};$
2) $\frac{\sqrt{a} + 1}{a - \sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{ab} - b};$
3) $\frac{\sqrt{x}}{y - 2\sqrt{y}} : \frac{\sqrt{x}}{3\sqrt{y} - 6};$
4) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} : \left( \frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} \right);$
5) $\left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4\sqrt{x}}{x - 1} \right) \cdot \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1};$
6) $\frac{a - 64}{\sqrt{a} + 3} \cdot \frac{1}{a + 8\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a} + 8}{a - 3\sqrt{a}}.$
Решение 1. №562 (с. 141)






Решение 2. №562 (с. 141)

Решение 3. №562 (с. 141)

Решение 4. №562 (с. 141)

Решение 5. №562 (с. 141)


Решение 7. №562 (с. 141)

Решение 8. №562 (с. 141)
1) $\frac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}+1} - \frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}}$
Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}+1}$ и $\frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}}$ это $\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)$.
$\frac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}+1} - \frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} - \frac{(\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3) - (\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}$
Раскроем скобки в числителе:
$\sqrt{a}(\sqrt{a}-3) = a - 3\sqrt{a}$
$(\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+1) = \sqrt{a}\cdot\sqrt{a} + 1\cdot\sqrt{a} - 4\cdot\sqrt{a} - 4\cdot1 = a - 3\sqrt{a} - 4$
Теперь выполним вычитание в числителе:
$(a - 3\sqrt{a}) - (a - 3\sqrt{a} - 4) = a - 3\sqrt{a} - a + 3\sqrt{a} + 4 = 4$
Подставим полученное значение в числитель дроби:
$\frac{4}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} = \frac{4}{a+\sqrt{a}}$
Ответ: $\frac{4}{a+\sqrt{a}}$
2) $\frac{\sqrt{a}+1}{a-\sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{ab}-b}$
Сначала упростим знаменатели дробей, вынеся общие множители за скобки:
$a-\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{a} - \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$
$\sqrt{ab}-b = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} - \sqrt{b}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$
Общий знаменатель равен $\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = \sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$. Приведем дроби к нему:
$\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{b}+1)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+1) - \sqrt{a}(\sqrt{b}+1)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\sqrt{b}\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{a}\sqrt{b} - \sqrt{a} = \sqrt{b} - \sqrt{a} = -(\sqrt{a}-\sqrt{b})$
Подставим результат в дробь и сократим:
$\frac{-(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = -\frac{1}{\sqrt{ab}}$
Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{ab}}$
3) $\frac{\sqrt{x}}{y-2\sqrt{y}} : \frac{\sqrt{x}}{3\sqrt{y}-6}$
Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь:
$\frac{\sqrt{x}}{y-2\sqrt{y}} \cdot \frac{3\sqrt{y}-6}{\sqrt{x}}$
Вынесем общие множители в знаменателе первой дроби и числителе второй:
$y-2\sqrt{y} = \sqrt{y}(\sqrt{y}-2)$
$3\sqrt{y}-6 = 3(\sqrt{y}-2)$
Подставим в выражение:
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}(\sqrt{y}-2)} \cdot \frac{3(\sqrt{y}-2)}{\sqrt{x}}$
Сократим одинаковые множители $\sqrt{x}$ и $(\sqrt{y}-2)$:
$\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{\sqrt{y}}$
Ответ: $\frac{3}{\sqrt{y}}$
4) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} : \left(\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}\right)$
Сначала выполним сложение в скобках. Общий знаменатель $\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})$:
$\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n})}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})} + \frac{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}$
Сложим числители. В первом слагаемом используем формулу разности квадратов $(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n}) = m-n$:
$\frac{(m-n)+n}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})} = \frac{m}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}$
Теперь выполним деление:
$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} : \frac{m}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}{m}$
Сократим $(\sqrt{m}-\sqrt{n})$:
$\frac{\sqrt{m}\sqrt{n}}{m} = \frac{\sqrt{mn}}{m}$
Так как $m = (\sqrt{m})^2$, можно упростить дальше:
$\frac{\sqrt{m}\sqrt{n}}{(\sqrt{m})^2} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}$
5) $\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{4\sqrt{x}}{x-1}\right) \cdot \frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$
Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что $x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$. Это будет общий знаменатель.
$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} - \frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$
Выполним вычитание в числителе:
$\frac{(\sqrt{x}+1)^2 - 4\sqrt{x}}{x-1} = \frac{(x+2\sqrt{x}+1) - 4\sqrt{x}}{x-1} = \frac{x-2\sqrt{x}+1}{x-1}$
Числитель $x-2\sqrt{x}+1$ является полным квадратом $(\sqrt{x}-1)^2$. Подставим и сократим:
$\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$
Теперь умножим полученный результат на вторую часть выражения:
$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$
Вынесем $\sqrt{x}$ в числителе второй дроби: $x+\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+1)$.
$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1}$
Сократим общие множители $(\sqrt{x}-1)$ и $(\sqrt{x}+1)$:
$\sqrt{x}$
Ответ: $\sqrt{x}$
6) $\frac{a-64}{\sqrt{a}+3} \cdot \frac{1}{a+8\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}+8}{a-3\sqrt{a}}$
Рассмотрим первое слагаемое. Разложим на множители $a-64 = (\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}+8)$ и $a+8\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+8)$:
$\frac{(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}+8)}{\sqrt{a}+3} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+8)} = \frac{\sqrt{a}-8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)}$
Рассмотрим второе слагаемое. Разложим на множители знаменатель $a-3\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-3)$:
$\frac{\sqrt{a}+8}{a-3\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}+8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{\sqrt{a}-8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)} - \frac{\sqrt{a}+8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}$
Общий знаменатель: $\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-3) = \sqrt{a}(a-9)$.
$\frac{(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}-3)}{\sqrt{a}(a-9)} - \frac{(\sqrt{a}+8)(\sqrt{a}+3)}{\sqrt{a}(a-9)} = \frac{(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}-3) - (\sqrt{a}+8)(\sqrt{a}+3)}{\sqrt{a}(a-9)}$
Раскроем скобки в числителе:
$(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}-3) = a - 3\sqrt{a} - 8\sqrt{a} + 24 = a - 11\sqrt{a} + 24$
$(\sqrt{a}+8)(\sqrt{a}+3) = a + 3\sqrt{a} + 8\sqrt{a} + 24 = a + 11\sqrt{a} + 24$
Вычтем второе из первого:
$(a - 11\sqrt{a} + 24) - (a + 11\sqrt{a} + 24) = a - 11\sqrt{a} + 24 - a - 11\sqrt{a} - 24 = -22\sqrt{a}$
Подставим результат в дробь и сократим:
$\frac{-22\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-9)} = \frac{-22}{a-9}$
Ответ: $\frac{-22}{a-9}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 562 расположенного на странице 141 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №562 (с. 141), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.