Номер 567, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 567, страница 142.
№567 (с. 142)
Условие. №567 (с. 142)
скриншот условия

567. Докажите тождество:
1) $ \left( \frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a}+7} - \frac{15\sqrt{a}}{a+14\sqrt{a}+49} \right) : \frac{8\sqrt{a}+41}{a-49} + \frac{7\sqrt{a}-49}{\sqrt{a}+7} = \sqrt{a}-7; $
2) $ \frac{a\sqrt{a}+27}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \left( \frac{\sqrt{a}-3}{a-3\sqrt{a}+9} - \frac{\sqrt{ab}-9}{a\sqrt{a}+27} \right) = \sqrt{a}. $
Решение 1. №567 (с. 142)


Решение 2. №567 (с. 142)

Решение 3. №567 (с. 142)

Решение 4. №567 (с. 142)

Решение 5. №567 (с. 142)


Решение 7. №567 (с. 142)

Решение 8. №567 (с. 142)
1)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$: $a \ge 0$ и $a \neq 49$.
1. Сначала упростим выражение в скобках: $\frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a}+7} - \frac{15\sqrt{a}}{a+14\sqrt{a}+49}$.
Знаменатель второй дроби $a+14\sqrt{a}+49$ представляет собой полный квадрат: $(\sqrt{a}+7)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{a}+7)^2$:
$\frac{8\sqrt{a}(\sqrt{a}+7)}{(\sqrt{a}+7)^2} - \frac{15\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+7)^2} = \frac{8a+56\sqrt{a}-15\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+7)^2} = \frac{8a+41\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+7)^2} = \frac{\sqrt{a}(8\sqrt{a}+41)}{(\sqrt{a}+7)^2}$.
2. Теперь выполним деление. Для этого умножим результат первого действия на дробь, обратную делителю $\frac{8\sqrt{a}+41}{a-49}$. Предварительно разложим знаменатель $a-49$ по формуле разности квадратов: $a-49=(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)$.
$\frac{\sqrt{a}(8\sqrt{a}+41)}{(\sqrt{a}+7)^2} \cdot \frac{(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)}{8\sqrt{a}+41}$.
Сокращаем общие множители $(8\sqrt{a}+41)$ и $(\sqrt{a}+7)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-7)}{\sqrt{a}+7}$.
3. Выполним сложение с последним слагаемым исходного выражения:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-7)}{\sqrt{a}+7} + \frac{7\sqrt{a}-49}{\sqrt{a}+7}$.
Поскольку знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-7) + (7\sqrt{a}-49)}{\sqrt{a}+7} = \frac{a-7\sqrt{a}+7\sqrt{a}-49}{\sqrt{a}+7} = \frac{a-49}{\sqrt{a}+7}$.
4. Вновь применим формулу разности квадратов к числителю:
$\frac{(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)}{\sqrt{a}+7} = \sqrt{a}-7$.
В результате упрощения левой части мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.
2)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. ОДЗ: $a \ge 0, b \ge 0, a \neq b$.
1. Упростим выражение в скобках: $\frac{\sqrt{a}-3}{a-3\sqrt{a}+9} - \frac{\sqrt{ab}-9}{a\sqrt{a}+27}$.
Знаменатель второй дроби $a\sqrt{a}+27$ можно разложить по формуле суммы кубов: $(\sqrt{a})^3+3^3 = (\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)$. Приведем дроби к этому общему знаменателю:
$\frac{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)} - \frac{\sqrt{ab}-9}{(\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)}$.
Объединим дроби и упростим числитель, используя формулу разности квадратов для $(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)=a-9$:
$\frac{(a-9) - (\sqrt{ab}-9)}{(\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)} = \frac{a-9-\sqrt{ab}+9}{a\sqrt{a}+27} = \frac{a-\sqrt{ab}}{a\sqrt{a}+27}$.
Вынесем в числителе общий множитель $\sqrt{a}$:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a\sqrt{a}+27}$.
2. Теперь выполним умножение первого множителя на результат, полученный в скобках:
$\frac{a\sqrt{a}+27}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a\sqrt{a}+27}$.
Сокращаем одинаковые множители $(a\sqrt{a}+27)$ и $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{a\sqrt{a}+27}}{\cancel{\sqrt{a}-\sqrt{b}}} \cdot \frac{\sqrt{a}(\cancel{\sqrt{a}-\sqrt{b}})}{\cancel{a\sqrt{a}+27}} = \sqrt{a}$.
В результате упрощения левой части мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 567 расположенного на странице 142 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №567 (с. 142), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.