Номер 567, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 567, страница 142.

Условие.

567. Докажите тождество:

1) $ \left( \frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a}+7} - \frac{15\sqrt{a}}{a+14\sqrt{a}+49} \right) : \frac{8\sqrt{a}+41}{a-49} + \frac{7\sqrt{a}-49}{\sqrt{a}+7} = \sqrt{a}-7; $

2) $ \frac{a\sqrt{a}+27}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \left( \frac{\sqrt{a}-3}{a-3\sqrt{a}+9} - \frac{\sqrt{ab}-9}{a\sqrt{a}+27} \right) = \sqrt{a}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$: $a \ge 0$ и $a \neq 49$.

1. Сначала упростим выражение в скобках: $\frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a}+7} - \frac{15\sqrt{a}}{a+14\sqrt{a}+49}$.

Знаменатель второй дроби $a+14\sqrt{a}+49$ представляет собой полный квадрат: $(\sqrt{a}+7)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{a}+7)^2$:

$\frac{8\sqrt{a}(\sqrt{a}+7)}{(\sqrt{a}+7)^2} - \frac{15\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+7)^2} = \frac{8a+56\sqrt{a}-15\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+7)^2} = \frac{8a+41\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+7)^2} = \frac{\sqrt{a}(8\sqrt{a}+41)}{(\sqrt{a}+7)^2}$.

2. Теперь выполним деление. Для этого умножим результат первого действия на дробь, обратную делителю $\frac{8\sqrt{a}+41}{a-49}$. Предварительно разложим знаменатель $a-49$ по формуле разности квадратов: $a-49=(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)$.

$\frac{\sqrt{a}(8\sqrt{a}+41)}{(\sqrt{a}+7)^2} \cdot \frac{(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)}{8\sqrt{a}+41}$.

Сокращаем общие множители $(8\sqrt{a}+41)$ и $(\sqrt{a}+7)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-7)}{\sqrt{a}+7}$.

3. Выполним сложение с последним слагаемым исходного выражения:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-7)}{\sqrt{a}+7} + \frac{7\sqrt{a}-49}{\sqrt{a}+7}$.

Поскольку знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-7) + (7\sqrt{a}-49)}{\sqrt{a}+7} = \frac{a-7\sqrt{a}+7\sqrt{a}-49}{\sqrt{a}+7} = \frac{a-49}{\sqrt{a}+7}$.

4. Вновь применим формулу разности квадратов к числителю:

$\frac{(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)}{\sqrt{a}+7} = \sqrt{a}-7$.

В результате упрощения левой части мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. ОДЗ: $a \ge 0, b \ge 0, a \neq b$.

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{\sqrt{a}-3}{a-3\sqrt{a}+9} - \frac{\sqrt{ab}-9}{a\sqrt{a}+27}$.

Знаменатель второй дроби $a\sqrt{a}+27$ можно разложить по формуле суммы кубов: $(\sqrt{a})^3+3^3 = (\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)$. Приведем дроби к этому общему знаменателю:

$\frac{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)} - \frac{\sqrt{ab}-9}{(\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)}$.

Объединим дроби и упростим числитель, используя формулу разности квадратов для $(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)=a-9$:

$\frac{(a-9) - (\sqrt{ab}-9)}{(\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)} = \frac{a-9-\sqrt{ab}+9}{a\sqrt{a}+27} = \frac{a-\sqrt{ab}}{a\sqrt{a}+27}$.

Вынесем в числителе общий множитель $\sqrt{a}$:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a\sqrt{a}+27}$.

2. Теперь выполним умножение первого множителя на результат, полученный в скобках:

$\frac{a\sqrt{a}+27}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a\sqrt{a}+27}$.

Сокращаем одинаковые множители $(a\sqrt{a}+27)$ и $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{a\sqrt{a}+27}}{\cancel{\sqrt{a}-\sqrt{b}}} \cdot \frac{\sqrt{a}(\cancel{\sqrt{a}-\sqrt{b}})}{\cancel{a\sqrt{a}+27}} = \sqrt{a}$.

В результате упрощения левой части мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.