Номер 573, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 573, страница 143.

Условие.

573. Докажите, что:

$\sqrt{2 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = 2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного равенства будем последовательно упрощать выражение в левой части, начиная с произведения последних двух сомножителей.

Исходное выражение: $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} $

1. Рассмотрим произведение последних двух множителей. Используя свойство корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $, объединим их под один корень: $ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} = \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})} $

В выражении под корнем применим формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $, где $ x=2 $ и $ y=\sqrt{2+\sqrt{2}} $: $ 2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{2}})^2 = 4 - (2+\sqrt{2}) = 4 - 2 - \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} $

Таким образом, произведение последних двух сомножителей равно $ \sqrt{2 - \sqrt{2}} $.

2. Теперь исходное выражение принимает вид: $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}} $

Снова рассмотрим произведение последних двух множителей и применим те же преобразования: $ \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}} = \sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} $

Применяем формулу разности квадратов, где $ x=2 $ и $ y=\sqrt{2} $: $ \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} $

3. Подставим полученный результат в выражение: $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} $

Вычисляем окончательное значение: $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 $

В результате упрощения левой части равенства мы получили 2, что равно правой части. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.