Страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

569. Упростите выражение:

1) $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$;

2) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$;

3) $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$.

1)

Для упрощения выражения воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$. Постараемся представить подкоренное выражение $3+2\sqrt{2}$ в виде полного квадрата $(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2 = m+n+2\sqrt{mn}$.

Сравнивая $(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2$ с выражением $3+2\sqrt{2}$, мы ищем два числа $m$ и $n$ такие, что их сумма $m+n=3$, а их произведение $mn=2$. По теореме Виета или простым подбором находим, что это числа 2 и 1.

Тогда подкоренное выражение можно переписать следующим образом:
$3+2\sqrt{2} = (2+1) + 2\sqrt{2 \cdot 1} = (\sqrt{2})^2+(\sqrt{1})^2+2\sqrt{2}\sqrt{1} = (\sqrt{2}+1)^2$.

Следовательно, исходное выражение равно:
$\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = |\sqrt{2}+1|$.
Так как $\sqrt{2}+1 > 0$, то модуль можно опустить.

Ответ: $\sqrt{2}+1$.

2)

Упростим выражение $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$. Сначала приведем его к виду $\sqrt{A+2\sqrt{B}}$, внеся множитель 2 под знак внутреннего корня:

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{7+2 \cdot 2\sqrt{3}} = \sqrt{7+2\sqrt{2^2 \cdot 3}} = \sqrt{7+2\sqrt{12}}$.

Теперь ищем числа $m$ и $n$ такие, что $m+n=7$ и $mn=12$. Очевидно, что это числа 4 и 3.

Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$7+2\sqrt{12} = (4+3)+2\sqrt{4 \cdot 3} = (\sqrt{4})^2+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{4}\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$.

Значит, $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}|$.
Так как $2+\sqrt{3} > 0$, то модуль опускаем.

Ответ: $2+\sqrt{3}$.

3)

Упростим выражение $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$. Оно уже имеет вид $\sqrt{A+2\sqrt{B}}$.

Ищем числа $m$ и $n$, для которых $m+n=11$ и $mn=30$. Легко подобрать эти числа: 6 и 5.

Запишем подкоренное выражение как квадрат суммы:
$11+2\sqrt{30} = (6+5)+2\sqrt{6 \cdot 5} = (\sqrt{6})^2+(\sqrt{5})^2+2\sqrt{6}\sqrt{5} = (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2$.

Таким образом, $\sqrt{11+2\sqrt{30}} = \sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{5})^2} = |\sqrt{6}+\sqrt{5}|$.
Так как $\sqrt{6}+\sqrt{5} > 0$, то модуль можно опустить.

Ответ: $\sqrt{6}+\sqrt{5}$.

570. Упростите выражение:

1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$;

2) $\sqrt{15+6\sqrt{6}}$;

3) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$.

1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой выделения полного квадрата под корнем, которая основывается на формуле квадрата суммы: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$.

Сравним наше выражение $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$ с общей формулой $\sqrt{A+2\sqrt{B}} = \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$. Мы видим, что $A=a+b=8$ и $B=ab=7$.

Нам необходимо найти два числа $a$ и $b$, которые удовлетворяют системе уравнений:

$\begin{cases} a+b=8 \\ ab=7 \end{cases}$

Путем подбора легко находим, что $a=7$ и $b=1$. Проверим: $7+1=8$ и $7 \cdot 1=7$.

Следовательно, подкоренное выражение можно представить в виде полного квадрата:

$8+2\sqrt{7} = 7+1+2\sqrt{7 \cdot 1} = (\sqrt{7})^2+(\sqrt{1})^2+2\sqrt{7}\sqrt{1} = (\sqrt{7}+1)^2$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = |\sqrt{7}+1|$.

Поскольку выражение $\sqrt{7}+1$ положительно, модуль можно опустить.

$\sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = \sqrt{7}+1$.

Ответ: $\sqrt{7}+1$.

2) $\sqrt{15+6\sqrt{6}}$

Для использования формулы $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$ нам необходимо, чтобы перед внутренним корнем стоял коэффициент 2. Преобразуем слагаемое $6\sqrt{6}$:

$6\sqrt{6} = 2 \cdot 3\sqrt{6}$.

Теперь внесем множитель 3 под знак корня:

$2 \cdot 3\sqrt{6} = 2\sqrt{3^2 \cdot 6} = 2\sqrt{9 \cdot 6} = 2\sqrt{54}$.

Исходное выражение принимает вид: $\sqrt{15+2\sqrt{54}}$.

Теперь ищем такие числа $a$ и $b$, что их сумма равна 15, а произведение равно 54:

$\begin{cases} a+b=15 \\ ab=54 \end{cases}$

Рассмотрим пары множителей числа 54: (1, 54), (2, 27), (3, 18), (6, 9). Сумма последней пары как раз равна 15. Значит, нам подходят числа $a=9$ и $b=6$.

Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:

$15+2\sqrt{54} = 9+6+2\sqrt{9 \cdot 6} = (\sqrt{9})^2+(\sqrt{6})^2+2\sqrt{9}\sqrt{6} = (3+\sqrt{6})^2$.

Извлекаем квадратный корень:

$\sqrt{15+6\sqrt{6}} = \sqrt{(3+\sqrt{6})^2} = |3+\sqrt{6}|$.

Поскольку $3+\sqrt{6}$ — положительное число, модуль можно опустить.

$\sqrt{(3+\sqrt{6})^2} = 3+\sqrt{6}$.

Ответ: $3+\sqrt{6}$.

3) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

Выражение уже представлено в удобном для нас виде $\sqrt{A+2\sqrt{B}}$. Применим формулу $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$.

Найдем два числа $a$ и $b$, удовлетворяющие системе уравнений:

$\begin{cases} a+b=7 \\ ab=10 \end{cases}$

Методом подбора находим, что $a=5$ и $b=2$, так как $5+2=7$ и $5 \cdot 2=10$.

Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:

$7+2\sqrt{10} = 5+2+2\sqrt{5 \cdot 2} = (\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2+2\sqrt{5}\sqrt{2} = (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = |\sqrt{5}+\sqrt{2}|$.

Так как $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ является положительным числом, модуль можно опустить.

$\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{5}+\sqrt{2}$.

571. Упростите выражение:

$\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}.$

Для упрощения данного выражения преобразуем каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Общий вид слагаемого в этой сумме — $\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$.

Чтобы избавиться от корней в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $\sqrt{k+1} - \sqrt{k}$. Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})}{(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1})^2 - (\sqrt{k})^2} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(k+1) - k} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{1} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$.

Теперь применим это преобразование к каждому члену исходной суммы, начиная с первого, где $k=1$ (так как $1 = \sqrt{1}$), и заканчивая последним, где $k=99$.

Исходное выражение:$S = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$

После преобразования каждого слагаемого получаем:$S = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + \dots + (\sqrt{100} - \sqrt{99})$

Эта сумма является телескопической. При раскрытии скобок все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:

$S = -\sqrt{1} + \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{4} - \sqrt{4} + \dots - \sqrt{99} + \sqrt{100}$

В результате остаются только первый член из первого слагаемого и второй член из последнего слагаемого:

$S = -\sqrt{1} + \sqrt{100}$

Вычислим результат:

$S = -1 + 10 = 9$

Ответ: 9

572. Докажите, что:

$\frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{91}+\sqrt{89}} = \frac{\sqrt{91}-1}{2}$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Стратегия состоит в том, чтобы для каждого слагаемого избавиться от иррациональности в знаменателе.

Рассмотрим общий член суммы вида $ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{a} - \sqrt{b} $: $ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} $.

Применим это преобразование к каждому слагаемому в левой части равенства. Заметим, что для каждого знаменателя вида $ \sqrt{k} + \sqrt{k-2} $ разность подкоренных выражений $ k - (k-2) $ всегда равна 2.

Первый член: $ \frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{1}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{1}}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} $.

Второй член: $ \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} $.

Третий член: $ \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} $.

...и так далее до последнего члена...

Последний член: $ \frac{1}{\sqrt{91} + \sqrt{89}} = \frac{\sqrt{91} - \sqrt{89}}{91 - 89} = \frac{\sqrt{91} - \sqrt{89}}{2} $.

Теперь просуммируем все преобразованные дроби, чтобы найти значение левой части (ЛЧ):

ЛЧ = $ \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + \dots + \frac{\sqrt{91} - \sqrt{89}}{2} $.

Вынесем общий знаменатель 2:

ЛЧ = $ \frac{(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + \dots + (\sqrt{91} - \sqrt{89})}{2} $.

В числителе дроби слагаемые образуют так называемую телескопическую сумму. Раскроем скобки в числителе:

$ -1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{7} - \dots - \sqrt{89} + \sqrt{91} $.

Видно, что все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $ \sqrt{3} $ сокращается с $ -\sqrt{3} $, $ \sqrt{5} $ с $ -\sqrt{5} $, и так до $ \sqrt{89} $ с $ -\sqrt{89} $. В результате остаются только первый и последний члены: $ -1 $ и $ \sqrt{91} $.

Таким образом, значение числителя равно $ \sqrt{91} - 1 $.

Следовательно, вся левая часть равна:

ЛЧ = $ \frac{\sqrt{91} - 1}{2} $.

Мы получили, что левая часть тождества равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное равенство доказано.

573. Докажите, что:

$\sqrt{2 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = 2$

Для доказательства данного равенства будем последовательно упрощать выражение в левой части, начиная с произведения последних двух сомножителей.

Исходное выражение: $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} $

1. Рассмотрим произведение последних двух множителей. Используя свойство корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $, объединим их под один корень: $ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} = \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})} $

В выражении под корнем применим формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $, где $ x=2 $ и $ y=\sqrt{2+\sqrt{2}} $: $ 2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{2}})^2 = 4 - (2+\sqrt{2}) = 4 - 2 - \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} $

Таким образом, произведение последних двух сомножителей равно $ \sqrt{2 - \sqrt{2}} $.

2. Теперь исходное выражение принимает вид: $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}} $

Снова рассмотрим произведение последних двух множителей и применим те же преобразования: $ \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}} = \sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} $

Применяем формулу разности квадратов, где $ x=2 $ и $ y=\sqrt{2} $: $ \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} $

3. Подставим полученный результат в выражение: $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} $

Вычисляем окончательное значение: $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 $

В результате упрощения левой части равенства мы получили 2, что равно правой части. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

574. Упростите выражение:

1) $\sqrt{10 + 8\sqrt{2} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}}$;

2) $\sqrt{22 + 6\sqrt{3} + \sqrt{13 + \sqrt{48}}}$.

1) Выражение в задаче записано как $\sqrt{10+8\sqrt{2}+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}$. Если решать его в таком виде, то после упрощения внутреннего корня получается выражение, которое дальше не упрощается стандартными методами. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка в форматировании, и имелось в виду вложенное выражение. Решим предполагаемый вариант задачи, который имеет красивое решение.
Предполагаемый вид выражения: $\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}$
Решение будем проводить "изнутри наружу", последовательно упрощая вложенные радикалы.

Шаг 1: Упростим самый внутренний корень $\sqrt{9+4\sqrt{2}}$.
Для этого представим подкоренное выражение в виде полного квадрата $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$9+4\sqrt{2} = 9+2\cdot 2\sqrt{2}$. Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=9$ и $2ab = 4\sqrt{2}$ (или $ab=2\sqrt{2}$).
Подбором находим, что $a=1$ и $b=2\sqrt{2}$ удовлетворяют этим условиям: $1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 4\cdot 2 = 1+8=9$.
Следовательно, $9+4\sqrt{2} = (1+2\sqrt{2})^2$.
Тогда $\sqrt{9+4\sqrt{2}} = \sqrt{(1+2\sqrt{2})^2} = 1+2\sqrt{2}$.

Шаг 2: Подставим полученный результат в следующий по вложенности корень.
$\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}} = \sqrt{2+(1+2\sqrt{2})} = \sqrt{3+2\sqrt{2}}$.
Упростим $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$, снова используя формулу полного квадрата.
$3+2\sqrt{2} = 1+2+2\cdot 1 \cdot \sqrt{2} = 1^2+(\sqrt{2})^2+2\cdot 1 \cdot \sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^2$.
Тогда $\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(1+\sqrt{2})^2} = 1+\sqrt{2}$.

Шаг 3: Подставим результат во внешнее выражение.
$\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}} = \sqrt{10+8(1+\sqrt{2})} = \sqrt{10+8+8\sqrt{2}} = \sqrt{18+8\sqrt{2}}$.

Шаг 4: Упростим полученное выражение $\sqrt{18+8\sqrt{2}}$.
$18+8\sqrt{2} = 18+2\cdot 4\sqrt{2} = 18+2\sqrt{16\cdot 2} = 18+2\sqrt{32}$.
Ищем числа $a$ и $b$ такие, что $a+b=18$ и $ab=32$. Это числа $16$ и $2$.
Значит, $18+2\sqrt{32} = 16+2+2\sqrt{16\cdot 2} = (\sqrt{16}+\sqrt{2})^2 = (4+\sqrt{2})^2$.
Следовательно, $\sqrt{18+8\sqrt{2}} = \sqrt{(4+\sqrt{2})^2} = 4+\sqrt{2}$.

Ответ: $4+\sqrt{2}$.

2) Как и в предыдущем случае, выражение в его исходной записи $\sqrt{22+6\sqrt{3}+\sqrt{13+\sqrt{48}}}$ не поддается упрощению до простого вида. Предположим, что и здесь имеется опечатка в форматировании, и решим более вероятный вариант задачи.
Предполагаемый вид выражения: $\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}}$
Решаем пошагово, начиная с самого внутреннего радикала.

Шаг 1: Упростим $\sqrt{13+\sqrt{48}}$.
Сначала упростим $\sqrt{48} = \sqrt{16\cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
Выражение становится $\sqrt{13+4\sqrt{3}}$. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата.
$13+4\sqrt{3} = 13+2\cdot 2\sqrt{3} = 13+2\sqrt{4\cdot 3} = 13+2\sqrt{12}$.
Ищем числа $a$ и $b$ такие, что $a+b=13$ и $ab=12$. Это числа $12$ и $1$.
Значит, $13+2\sqrt{12} = 12+1+2\sqrt{12\cdot 1} = (\sqrt{12}+\sqrt{1})^2 = (2\sqrt{3}+1)^2$.
Тогда $\sqrt{13+4\sqrt{3}} = \sqrt{(1+2\sqrt{3})^2} = 1+2\sqrt{3}$.

Шаг 2: Подставим полученный результат в следующий корень.
$\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}} = \sqrt{3+(1+2\sqrt{3})} = \sqrt{4+2\sqrt{3}}$.
Упростим $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$.
$4+2\sqrt{3} = 3+1+2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2+1^2+2\cdot\sqrt{3}\cdot 1 = (\sqrt{3}+1)^2$.
Тогда $\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1$.

Шаг 3: Подставим результат во внешнее выражение.
$\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}} = \sqrt{22+6(\sqrt{3}+1)} = \sqrt{22+6\sqrt{3}+6} = \sqrt{28+6\sqrt{3}}$.

Шаг 4: Упростим $\sqrt{28+6\sqrt{3}}$.
$28+6\sqrt{3} = 28+2\cdot 3\sqrt{3} = 28+2\sqrt{9\cdot 3} = 28+2\sqrt{27}$.
Ищем числа $a$ и $b$ такие, что $a+b=28$ и $ab=27$. Это числа $27$ и $1$.
Значит, $28+2\sqrt{27} = 27+1+2\sqrt{27\cdot 1} = (\sqrt{27}+\sqrt{1})^2$.
$\sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
Следовательно, $\sqrt{28+6\sqrt{3}} = \sqrt{(3\sqrt{3}+1)^2} = 3\sqrt{3}+1$.

Ответ: $1+3\sqrt{3}$.

575. Рабочий должен был изготовлять ежедневно по 12 деталей. Однако он изготовлял ежедневно по 15 деталей, и уже за 5 дней до окончания срока работы ему осталось изготовить 30 деталей. Сколько деталей должен был изготовить рабочий?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество дней, которое было запланировано на выполнение всей работы.

Согласно плану, рабочий должен был изготавливать по 12 деталей ежедневно. Следовательно, общее количество деталей, которое он должен был изготовить, равно произведению дневной нормы на количество дней:

Общее количество деталей $= 12 \times x$

По факту рабочий изготавливал по 15 деталей в день. В условии говорится, что за 5 дней до окончания срока ему осталось изготовить 30 деталей. Это означает, что он работал в течение $(x-5)$ дней. За это время он произвел:

Количество изготовленных деталей $= 15 \times (x-5)$

Общее количество деталей также равно сумме уже изготовленных деталей и оставшихся. Таким образом, мы можем составить второе выражение для общего количества деталей:

Общее количество деталей $= 15 \times (x-5) + 30$

Так как общее количество деталей по плану и по факту одно и то же, мы можем приравнять два полученных выражения и решить уравнение относительно $x$:

$12x = 15(x-5) + 30$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$12x = 15x - 75 + 30$

Упростим выражение:

$12x = 15x - 45$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$45 = 15x - 12x$

$45 = 3x$

Найдем $x$:

$x = \frac{45}{3}$

$x = 15$

Таким образом, плановый срок выполнения работы составлял 15 дней.

Теперь, зная количество дней, найдем общее количество деталей, которое рабочий должен был изготовить. Для этого подставим значение $x$ в плановую формулу:

Общее количество деталей $= 12 \times 15 = 180$

Проверка:

Рабочий работал $15 - 5 = 10$ дней. За это время он изготовил $10 \times 15 = 150$ деталей. Ему осталось изготовить еще 30 деталей. Итого: $150 + 30 = 180$ деталей. План был $12 \times 15 = 180$ деталей. Все верно.

Ответ: рабочий должен был изготовить 180 деталей.

576. При распродаже цену на товар снизили на $20\%$. На сколько процентов нужно повысить цену на товар, чтобы она стала равна первоначальной?

Обозначим первоначальную цену товара за $x$.

При распродаже цену снизили на 20%. Это означает, что новая цена составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной.
Математически это можно записать так:
Новая цена = $x - 0.2x = 0.8x$.

Теперь нам нужно найти, на сколько процентов следует повысить новую цену ($0.8x$), чтобы она снова стала равна первоначальной ($x$). В этом расчете за 100% мы принимаем новую, сниженную цену, то есть $0.8x$.

Разница между первоначальной и новой ценой, то есть сумма, на которую нужно повысить цену, равна:
$x - 0.8x = 0.2x$.

Чтобы найти, какой процент ($p$) составляет эта разница ($0.2x$) от новой цены ($0.8x$), нужно разделить разницу на новую цену и умножить на 100%.
$p = \frac{\text{разница}}{\text{новая цена}} \times 100\%$
$p = \frac{0.2x}{0.8x} \times 100\%$

Сократим $x$ в числителе и знаменателе:
$p = \frac{0.2}{0.8} \times 100\% = \frac{2}{8} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$

Таким образом, чтобы цена вернулась к первоначальному значению, ее нужно повысить на 25%.

Ответ: на 25%.

577. Лодка проплыла 32 км по течению реки за 4 ч, а против течения – за 8 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Для решения задачи введем переменные: пусть $v_с$ — собственная скорость лодки в км/ч, а $v_т$ — скорость течения реки в км/ч.

Когда лодка движется по течению, ее скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_с + v_т$. Когда лодка движется против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_с - v_т$.

Сначала найдем скорость лодки по течению. Согласно условию, лодка прошла расстояние $S = 32$ км за время $t_{по} = 4$ ч. Используя формулу скорости $v = S / t$, получаем: $v_{по} = 32 / 4 = 8$ км/ч. Таким образом, мы можем составить первое уравнение: $v_с + v_т = 8$.

Далее найдем скорость лодки против течения. То же расстояние $S = 32$ км она прошла за время $t_{против} = 8$ ч. Ее скорость была: $v_{против} = 32 / 8 = 4$ км/ч. Таким образом, мы можем составить второе уравнение: $v_с - v_т = 4$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_с + v_т = 8 \\ v_с - v_т = 4 \end{cases}$

Чтобы решить систему, сложим левые и правые части обоих уравнений: $(v_с + v_т) + (v_с - v_т) = 8 + 4$.

Упростив выражение, получим: $2v_с = 12$.

Отсюда находим собственную скорость лодки: $v_с = 12 / 2 = 6$ км/ч.

Теперь, зная собственную скорость лодки, подставим ее значение в первое уравнение системы ($v_с + v_т = 8$), чтобы найти скорость течения: $6 + v_т = 8$.

Отсюда находим скорость течения: $v_т = 8 - 6 = 2$ км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки — 6 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.

578. Федя и Оля ехали в одном поезде. Федя сел в двенадцатый вагон от головы поезда, а Оля – в шестой вагон от хвоста поезда. Оказалось, что они едут в одном вагоне. Сколько вагонов в поезде?

Для решения этой задачи необходимо определить общее количество вагонов, исходя из положения одного и того же вагона с двух разных точек отсчета: от головы и от хвоста поезда.

Федя сел в 12-й вагон от головы поезда. Это означает, что перед его вагоном находится $12 - 1 = 11$ вагонов.

Оля села в 6-й вагон от хвоста поезда. Это означает, что за ее вагоном находится $6 - 1 = 5$ вагонов.

Поскольку Федя и Оля оказались в одном и том же вагоне, мы можем мысленно разделить весь поезд на три части:

1. Вагоны, которые находятся перед их общим вагоном. Их 11.
2. Их общий вагон. Он один.
3. Вагоны, которые находятся после их общего вагона. Их 5.

Чтобы найти общее количество вагонов в поезде, нужно сложить количество вагонов во всех этих частях.

$11 + 1 + 5 = 17$

Таким образом, в поезде всего 17 вагонов.

Ответ: 17.

579. Число a — положительное, а число b — отрицательное. Какое из данных выражений принимает наибольшее значение:

1) $a^2b;$ 2) $-a^2b^2;$ 3) $-ab^2;$ 4) $ab;$ 5) $-a^2b?$

По условию задачи, число $a$ является положительным ($a > 0$), а число $b$ — отрицательным ($b < 0$). Чтобы определить, какое из выражений принимает наибольшее значение, необходимо проанализировать знак каждого из них. Наибольшим будет значение положительного выражения, так как любое положительное число больше любого отрицательного.

Для анализа нам понадобятся знаки следующих компонентов:

• $a > 0$ (положительное)
• $b < 0$ (отрицательное)
• $a^2 > 0$ (квадрат любого ненулевого числа положителен)
• $b^2 > 0$ (квадрат любого ненулевого числа положителен)

Рассмотрим поочередно каждое выражение:

1) $a^2b$
Это произведение положительного числа $a^2$ и отрицательного числа $b$. Произведение чисел с разными знаками отрицательно. Таким образом, $a^2b < 0$.

2) $-a^2b^2$
Выражение $a^2b^2$ является произведением двух положительных чисел ($a^2$ и $b^2$), следовательно, оно положительно. Знак "минус" перед выражением делает его итоговое значение отрицательным. Таким образом, $-a^2b^2 < 0$.

3) $-ab^2$
Выражение $ab^2$ является произведением двух положительных чисел ($a$ и $b^2$), следовательно, оно положительно. Знак "минус" перед выражением делает его итоговое значение отрицательным. Таким образом, $-ab^2 < 0$.

4) $ab$
Это произведение положительного числа $a$ и отрицательного числа $b$. Результат отрицателен. Таким образом, $ab < 0$.

5) $-a^2b$
Как мы установили в пункте 1, выражение $a^2b$ отрицательно. Знак "минус" перед ним меняет знак результата на противоположный (положительный). Таким образом, $-a^2b > 0$.

По итогам анализа только выражение 5) $-a^2b$ имеет положительное значение. Все остальные выражения отрицательны. Следовательно, оно принимает наибольшее значение.

Ответ: 5) $-a^2b$