Страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

598. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}$;

2) $\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{7})^2}$;

3) $\sqrt{(2\sqrt{5}-3)^2}$;

4) $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}+\sqrt{(3-\sqrt{3})^2}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}$ воспользуемся тождеством $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Применяя это свойство, получаем: $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = |1 - \sqrt{2}|$.

Далее, чтобы раскрыть модуль, нам нужно определить знак выражения $1 - \sqrt{2}$. Сравним числа 1 и $\sqrt{2}$. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$. Так как $1 < 2$, то $1 < \sqrt{2}$.

Следовательно, разность $1 - \sqrt{2}$ является отрицательным числом.

По определению модуля, $|x| = -x$, если $x < 0$. Поэтому, $|1 - \sqrt{2}| = -(1 - \sqrt{2}) = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$.

Ответ: $\sqrt{2} - 1$

2) Упростим выражение $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{7})^2}$, используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

Таким образом, $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{7})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{7}|$.

Чтобы раскрыть модуль, сравним значения $\sqrt{6}$ и $\sqrt{7}$. Поскольку подкоренные выражения положительны и $6 < 7$, то и $\sqrt{6} < \sqrt{7}$.

Это означает, что выражение $\sqrt{6} - \sqrt{7}$ отрицательно.

Следовательно, по определению модуля, $|\sqrt{6} - \sqrt{7}| = -(\sqrt{6} - \sqrt{7}) = -\sqrt{6} + \sqrt{7} = \sqrt{7} - \sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt{7} - \sqrt{6}$

3) Для упрощения выражения $\sqrt{(2\sqrt{5} - 3)^2}$ применим формулу $\sqrt{a^2} = |a|$.

Получаем: $\sqrt{(2\sqrt{5} - 3)^2} = |2\sqrt{5} - 3|$.

Теперь определим знак выражения $2\sqrt{5} - 3$. Для этого сравним $2\sqrt{5}$ и $3$. Удобнее сравнивать их квадраты: $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$ и $3^2 = 9$.

Так как $20 > 9$, то $2\sqrt{5} > 3$.

Значит, выражение $2\sqrt{5} - 3$ является положительным.

По определению модуля, $|x| = x$, если $x \ge 0$. Таким образом, $|2\sqrt{5} - 3| = 2\sqrt{5} - 3$.

Ответ: $2\sqrt{5} - 3$

4) Упростим выражение $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{3})^2}$.

Это выражение является суммой двух слагаемых. Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Первое слагаемое: $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} = |\sqrt{3} - 2|$.

Сравним $\sqrt{3}$ и $2$. Их квадраты равны $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$. Так как $3 < 4$, то $\sqrt{3} < 2$. Значит, разность $\sqrt{3} - 2$ отрицательна. Поэтому, $|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$.

Второе слагаемое: $\sqrt{(3 - \sqrt{3})^2} = |3 - \sqrt{3}|$.

Сравним $3$ и $\sqrt{3}$. Их квадраты равны $3^2 = 9$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$. Так как $9 > 3$, то $3 > \sqrt{3}$. Значит, разность $3 - \sqrt{3}$ положительна. Поэтому, $|3 - \sqrt{3}| = 3 - \sqrt{3}$.

Теперь сложим полученные результаты:

$(2 - \sqrt{3}) + (3 - \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = (2 + 3) + (-\sqrt{3} - \sqrt{3}) = 5 - 2\sqrt{3}$.

Ответ: $5 - 2\sqrt{3}$

599. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(\sqrt{5}-4)^2}$;

2) $\sqrt{(\sqrt{8}-3)^2} - \sqrt{(\sqrt{2}-3)^2}$.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, которое гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ (квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа).

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{(\sqrt{5} - 4)^2} = |\sqrt{5} - 4|$.

Теперь необходимо раскрыть модуль. Для этого определим знак выражения, стоящего под знаком модуля. Сравним числа $\sqrt{5}$ и $4$.

Чтобы их сравнить, можно сравнить их квадраты:

$(\sqrt{5})^2 = 5$

$4^2 = 16$

Поскольку $5 < 16$, то и $\sqrt{5} < 4$. Это означает, что разность $\sqrt{5} - 4$ является отрицательным числом.

По определению модуля, $|a| = -a$, если $a < 0$. Следовательно:

$|\sqrt{5} - 4| = -(\sqrt{5} - 4) = -\sqrt{5} + 4 = 4 - \sqrt{5}$.

Ответ: $4 - \sqrt{5}$.

2) Упростим выражение $\sqrt{(\sqrt{8} - 3)^2} - \sqrt{(\sqrt{2} - 3)^2}$.

Используя то же свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ для каждой части выражения, получаем:

$\sqrt{(\sqrt{8} - 3)^2} - \sqrt{(\sqrt{2} - 3)^2} = |\sqrt{8} - 3| - |\sqrt{2} - 3|$.

Теперь раскроем каждый модуль по отдельности.

Для первого модуля $|\sqrt{8} - 3|$ сравним числа $\sqrt{8}$ и $3$.

$(\sqrt{8})^2 = 8$, а $3^2 = 9$.

Так как $8 < 9$, то $\sqrt{8} < 3$. Значит, выражение $\sqrt{8} - 3$ отрицательно. Поэтому:

$|\sqrt{8} - 3| = -(\sqrt{8} - 3) = 3 - \sqrt{8}$.

Для второго модуля $|\sqrt{2} - 3|$ сравним числа $\sqrt{2}$ и $3$.

$(\sqrt{2})^2 = 2$, а $3^2 = 9$.

Так как $2 < 9$, то $\sqrt{2} < 3$. Значит, выражение $\sqrt{2} - 3$ также отрицательно. Поэтому:

$|\sqrt{2} - 3| = -(\sqrt{2} - 3) = 3 - \sqrt{2}$.

Теперь подставим раскрытые модули обратно в исходное выражение:

$(3 - \sqrt{8}) - (3 - \sqrt{2}) = 3 - \sqrt{8} - 3 + \sqrt{2}$.

Приведем подобные слагаемые. Числа $3$ и $-3$ взаимно уничтожаются:

$-\sqrt{8} + \sqrt{2}$.

Упростим корень из восьми: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Подставим это значение в выражение:

$-2\sqrt{2} + \sqrt{2} = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}$.

600. Решите уравнение $\sqrt{x} = -x^2$.

Для решения уравнения $√x = -x²$ проанализируем свойства левой и правой частей.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Левая часть уравнения содержит арифметический квадратный корень $√x$. По определению, выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x ≥ 0$.

2. Анализ значений функций.

Рассмотрим, какие значения могут принимать обе части уравнения с учетом ОДЗ.

• Левая часть, $√x$, по определению арифметического корня, всегда неотрицательна. Таким образом, $√x ≥ 0$.
• Правая часть, $-x²$. Выражение $x²$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$ ($x² ≥ 0$). Следовательно, выражение $-x²$ всегда неположительно ($-x² ≤ 0$).

3. Нахождение решения.

Мы имеем равенство $√x = -x²$, в котором левая часть ($≥ 0$) должна быть равна правой части ($≤ 0$). Такое равенство возможно только в одном случае: когда обе части равны нулю.

$√x = 0$ и $-x² = 0$.

Решая любое из этих уравнений, мы получаем единственный результат:

$√x = 0 \implies x = 0$

$-x² = 0 \implies x² = 0 \implies x = 0$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($0 ≥ 0$).

Альтернативный способ (алгебраический)

Возведем обе части исходного уравнения $√x = -x²$ в квадрат (при условии $x ≥ 0$):

$(√x)² = (-x²)²$

$x = x⁴$

Перенесем все в левую часть и решим полученное уравнение:

$x⁴ - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x³ - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $x = 0$

2) $x³ - 1 = 0 \implies x³ = 1 \implies x = 1$

Поскольку мы возводили уравнение в квадрат, могли появиться посторонние корни. Необходимо выполнить проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение $√x = -x²$.

Проверка для $x = 0$:

$√0 = -0²$

$0 = 0$ (Верно)

Следовательно, $x=0$ является корнем уравнения.

Проверка для $x = 1$:

$√1 = -1²$

$1 = -(1)$

$1 = -1$ (Неверно)

Следовательно, $x=1$ — посторонний корень.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $x=0$.

601. Дана функция $f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x}, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

1) Найдите: $f(-8)$, $f(0)$, $f(9)$.

2) Постройте график данной функции.

1) Найдите: f(-8), f(0), f(9).

Для нахождения значений функции необходимо определить, какому условию удовлетворяет аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу из определения кусочно-заданной функции $f(x)$.

- Чтобы найти $f(-8)$, мы смотрим на аргумент $x = -8$. Так как $-8 < 0$, мы используем первую часть функции: $f(x) = \frac{4}{x}$.
Подставляем $x = -8$ в эту формулу:
$f(-8) = \frac{4}{-8} = -0.5$

- Чтобы найти $f(0)$, мы смотрим на аргумент $x = 0$. Так как $0 \ge 0$, мы используем вторую часть функции: $f(x) = \sqrt{x}$.
Подставляем $x = 0$ в эту формулу:
$f(0) = \sqrt{0} = 0$

- Чтобы найти $f(9)$, мы смотрим на аргумент $x = 9$. Так как $9 \ge 0$, мы снова используем вторую часть функции: $f(x) = \sqrt{x}$.
Подставляем $x = 9$ в эту формулу:
$f(9) = \sqrt{9} = 3$

Ответ: $f(-8) = -0.5$, $f(0) = 0$, $f(9) = 3$.

2) Постройте график данной функции.

График данной функции состоит из двух частей, построенных на разных промежутках оси $x$.

Часть 1. При $x < 0$ функция задается формулой $y = \frac{4}{x}$. Это график обратной пропорциональности (гипербола). Поскольку нас интересует только промежуток $x < 0$, мы строим ветвь гиперболы, расположенную в III координатной четверти. Оси координат являются асимптотами для этой ветви. Вычислим несколько точек для построения:

Часть 2. При $x \ge 0$ функция задается формулой $y = \sqrt{x}$. Это график функции квадратного корня — ветвь параболы, симметричной относительно оси $OX$ и направленной вправо. График начинается в точке $(0, 0)$ и располагается в I координатной четверти. Вычислим несколько точек для построения:

Объединив эти две части на одной координатной плоскости, мы получаем искомый график. Точка $(0,0)$ является частью графика, так как условие для второй части функции $x \ge 0$ включает $x=0$.

Ответ: График функции представляет собой объединение ветви гиперболы $y = 4/x$, расположенной в третьей координатной четверти (для $x<0$), и ветви параболы $y = \sqrt{x}$, начинающейся в точке $(0,0)$ и расположенной в первой координатной четверти (для $x \ge 0$).

602. Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le 1, \\ \sqrt{x}, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

1) Найдите: $f(-2), f(0), f(1), f(4).$

2) Постройте график данной функции.

1) Найдите: $f(-2)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(4)$.

Данная функция является кусочно-заданной. Это означает, что для вычисления ее значения необходимо сначала определить, какому из двух указанных промежутков принадлежит аргумент $x$.

- Найдем $f(-2)$.
Значение $x = -2$ удовлетворяет условию $x \le 1$. Следовательно, для вычисления мы используем первую часть определения функции: $f(x) = x^2$.
$f(-2) = (-2)^2 = 4$.

- Найдем $f(0)$.
Значение $x = 0$ также удовлетворяет условию $x \le 1$. Используем ту же формулу: $f(x) = x^2$.
$f(0) = 0^2 = 0$.

- Найдем $f(1)$.
Значение $x = 1$ удовлетворяет условию $x \le 1$ (так как неравенство нестрогое). Снова используем формулу $f(x) = x^2$.
$f(1) = 1^2 = 1$.

- Найдем $f(4)$.
Значение $x = 4$ удовлетворяет условию $x > 1$. Следовательно, для вычисления мы используем вторую часть определения функции: $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(4) = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: $f(-2) = 4$, $f(0) = 0$, $f(1) = 1$, $f(4) = 2$.

2) Постройте график данной функции.

Для построения графика функции $f(x)$ необходимо построить график каждой из ее частей на соответствующем промежутке.

1. На промежутке $(-\infty, 1]$ функция задана формулой $y = x^2$. Графиком этой функции является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Мы строим эту параболу для всех значений $x$, не превосходящих $1$. Вычислим несколько ключевых точек:
   • $x = 1 \implies y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$.
   • $x = 0 \implies y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
   • $x = -1 \implies y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.
   • $x = -2 \implies y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.
2. На промежутке $(1, +\infty)$ функция задана формулой $y = \sqrt{x}$. Графиком является ветвь параболы, симметричная параболе $y=x^2$ ($x \ge 0$) относительно прямой $y=x$. Мы строим этот график для всех $x > 1$. Вычислим несколько ключевых точек:
   • При $x$, стремящемся к $1$ справа ($x \to 1+$), $y$ стремится к $\sqrt{1}=1$. Таким образом, эта часть графика начинается от точки $(1, 1)$, но сама точка не включается (была бы "выколотой").
   • $x = 4 \implies y = \sqrt{4} = 2$. Точка $(4, 2)$.
   • $x = 9 \implies y = \sqrt{9} = 3$. Точка $(9, 3)$.

Так как значение функции в точке $x=1$ для первой части ($y=1^2=1$) совпадает с предельным значением для второй части ($y=\sqrt{1}=1$), график функции является непрерывным в точке $x=1$. Точка $(1, 1)$ соединяет обе части графика.

Итоговый график функции показан на рисунке:

Ответ: График функции представляет собой объединение двух кривых: части параболы $y = x^2$ для $x \le 1$ (показана красным цветом) и части графика функции квадратного корня $y = \sqrt{x}$ для $x > 1$ (показана зеленым цветом). Обе части непрерывно соединяются в точке $(1, 1)$.

603. Найдите область определения, область значений и нули функции $y = \sqrt{-x}$. Постройте график данной функции.

Область определения

Дана функция $y = \sqrt{-x}$. Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для функции квадратного корня выражение, стоящее под знаком корня, должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:
$-x \geq 0$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \leq 0$

Таким образом, область определения функции включает все действительные числа, которые меньше или равны нулю. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty, 0]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 0]$.

Область значений

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$. По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{a} \geq 0$.

В нашем случае $y = \sqrt{-x}$, следовательно, $y \geq 0$ для всех $x$ из области определения. Таким образом, функция может принимать любые неотрицательные значения. В виде числового промежутка это записывается как $[0, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [0, +\infty)$.

Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($y=0$). Чтобы найти нули, нужно решить уравнение:
$\sqrt{-x} = 0$

Для решения возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{-x})^2 = 0^2$
$-x = 0$
$x = 0$

Значение $x = 0$ принадлежит области определения функции. Следовательно, функция имеет единственный нуль в точке $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

Построение графика

Для построения графика функции $y = \sqrt{-x}$ составим таблицу значений, выбирая значения $x$ из области определения, то есть $x \leq 0$.

• при $x = 0$, $y = \sqrt{-0} = 0$. Точка (0, 0).
• при $x = -1$, $y = \sqrt{-(-1)} = \sqrt{1} = 1$. Точка (-1, 1).
• при $x = -4$, $y = \sqrt{-(-4)} = \sqrt{4} = 2$. Точка (-4, 2).
• при $x = -9$, $y = \sqrt{-(-9)} = \sqrt{9} = 3$. Точка (-9, 3).

График функции $y = \sqrt{-x}$ является зеркальным отражением графика функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси ординат (оси OY). Он начинается в начале координат (0, 0) и проходит через вычисленные точки, плавно поднимаясь вверх и уходя влево (во вторую координатную четверть).

Ответ: График функции — это ветвь параболы, которая является симметричным отражением графика $y=\sqrt{x}$ относительно оси OY. График начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (-1, 1), (-4, 2), (-9, 3) и так далее.

604. Постройте график функции $y = \frac{x}{\sqrt{x}}$.

Чтобы построить график функции $y = \frac{x}{\sqrt{x}}$, сначала проанализируем её.

1. Нахождение области определения функции (ОДЗ).

Функция определена, если выполняются два условия:
а) Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
б) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x} \ne 0$, что означает $x \ne 0$.

Объединив эти два условия, получаем, что область определения функции — это все положительные числа: $x > 0$. В виде интервала это записывается как $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Упрощение выражения функции.

На области определения $x > 0$ мы можем преобразовать данное выражение. Представим числитель $x$ как $(\sqrt{x})^2$:
$y = \frac{(\sqrt{x})^2}{\sqrt{x}}$

Так как $x > 0$, то $\sqrt{x} \ne 0$, и мы можем сократить дробь на $\sqrt{x}$:
$y = \sqrt{x}$

3. Построение графика.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = \sqrt{x}$ при условии, что $x > 0$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это стандартная кривая (верхняя ветвь параболы $x = y^2$, симметричной относительно оси $Ox$).

Однако, согласно нашей области определения, $x$ не может быть равен нулю. Если бы $x=0$, то $y=0$. Это означает, что точка $(0, 0)$ не принадлежит графику исходной функции. На графике такие точки называют "выколотыми" и обозначают маленьким незакрашенным кружком.

Для построения кривой найдем несколько точек:
- при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$, получаем точку $(1; 1)$;
- при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$, получаем точку $(4; 2)$;
- при $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$, получаем точку $(9; 3)$.

График начинается в выколотой точке $(0, 0)$ и является плавной кривой, проходящей через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$ и уходящей далее вправо и вверх.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x}{\sqrt{x}}$ является график функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы) с выколотой точкой в начале координат $(0, 0)$.

605. Упростите выражение:

1) $\sqrt{8-2\sqrt{7}};$

2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}};$

3) $\sqrt{12-6\sqrt{3}};$

4) $\sqrt{38-12\sqrt{2}}.$

1) Чтобы упростить выражение, представим подкоренное выражение $8 - 2\sqrt{7}$ в виде полного квадрата разности $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x+y - 2\sqrt{xy}$. Для этого нам нужно найти такие числа $x$ и $y$, что их сумма $x+y=8$, а их произведение $xy=7$. Легко подобрать такие числа: $x=7$ и $y=1$. Проверяем: $7+1=8$ и $7 \cdot 1=7$. Таким образом, мы можем записать: $8 - 2\sqrt{7} = (7+1) - 2\sqrt{7 \cdot 1} = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\cdot\sqrt{1} + (\sqrt{1})^2 = (\sqrt{7}-1)^2$. Тогда исходное выражение равно $\sqrt{(\sqrt{7}-1)^2}$. Поскольку $\sqrt{7} > 1$, выражение $\sqrt{7}-1$ положительно, и, следовательно, $\sqrt{(\sqrt{7}-1)^2} = \sqrt{7}-1$. Ответ: $\sqrt{7}-1$.

2) Аналогично предыдущему пункту, ищем представление подкоренного выражения $5 - 2\sqrt{6}$ в виде $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x+y - 2\sqrt{xy}$. Нам нужны числа $x$ и $y$, для которых $x+y=5$ и $xy=6$. Очевидно, что подходят числа $x=3$ и $y=2$. Проверяем: $3+2=5$ и $3 \cdot 2=6$. Тогда $5 - 2\sqrt{6} = (3+2) - 2\sqrt{3 \cdot 2} = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$. Следовательно, $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3}-\sqrt{2}|$. Так как $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, то $\sqrt{3}-\sqrt{2} > 0$, и результат равен $\sqrt{3}-\sqrt{2}$. Ответ: $\sqrt{3}-\sqrt{2}$.

3) В этом выражении перед внутренним корнем стоит коэффициент 6, а нам нужен 2. Преобразуем выражение: $12 - 6\sqrt{3} = 12 - 2 \cdot 3\sqrt{3}$. Внесем множитель 3 под знак корня: $3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$. Таким образом, исходное выражение можно переписать как $\sqrt{12 - 2\sqrt{27}}$. Теперь ищем числа $x$ и $y$, такие что $x+y=12$ и $xy=27$. Подходят числа $x=9$ и $y=3$. Проверяем: $9+3=12$ и $9 \cdot 3=27$. Значит, $12 - 2\sqrt{27} = (9+3) - 2\sqrt{9 \cdot 3} = (\sqrt{9}-\sqrt{3})^2 = (3-\sqrt{3})^2$. Тогда $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = |3-\sqrt{3}|$. Поскольку $3=\sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{3}$, разность $3-\sqrt{3}$ положительна. Результат: $3-\sqrt{3}$. Ответ: $3-\sqrt{3}$.

4) Преобразуем подкоренное выражение, чтобы получить множитель 2 перед внутренним корнем. $12\sqrt{2} = 2 \cdot 6\sqrt{2}$. Внесем 6 под корень: $6\sqrt{2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}$. Выражение принимает вид $\sqrt{38 - 2\sqrt{72}}$. Теперь нам нужно найти два числа $x$ и $y$, сумма которых $x+y=38$, а произведение $xy=72$. Подбирая пары множителей числа 72, находим, что $36+2=38$ и $36 \cdot 2=72$. Значит, $x=36$ и $y=2$. Тогда $38 - 2\sqrt{72} = (36+2) - 2\sqrt{36 \cdot 2} = (\sqrt{36}-\sqrt{2})^2 = (6-\sqrt{2})^2$. Следовательно, $\sqrt{38 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{(6-\sqrt{2})^2} = |6-\sqrt{2}|$. Так как $6 > \sqrt{2}$, разность $6-\sqrt{2}$ положительна, и окончательный результат $6-\sqrt{2}$. Ответ: $6-\sqrt{2}$.

606. Упростите выражение:

1) $\sqrt{9-4\sqrt{5}};$

2) $\sqrt{7-2\sqrt{10}};$

3) $\sqrt{37-20\sqrt{3}}.$

1)

Для упрощения выражений такого вида используется формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Цель состоит в том, чтобы представить подкоренное выражение в виде полного квадрата.

Рассмотрим выражение $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$.

Сначала преобразуем член с корнем так, чтобы выделить удвоенное произведение: $4\sqrt{5} = 2 \cdot 2\sqrt{5}$.

Далее, внесем множитель 2 под знак корня: $2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.

Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt{9 - 2\sqrt{20}}$.

Мы ищем два числа, пусть это будут $x$ и $y$, такие, что их сумма $x+y=9$, а их произведение $xy=20$. По теореме Виета, это корни квадратного уравнения $z^2 - 9z + 20 = 0$. Методом подбора легко находим, что эти числа — 5 и 4 ($5+4=9$, $5 \cdot 4=20$).

Теперь мы можем переписать подкоренное выражение:

$9 - 2\sqrt{20} = (5+4) - 2\sqrt{5 \cdot 4} = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{4} + (\sqrt{4})^2 = (\sqrt{5}-\sqrt{4})^2$.

Подставляем это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{4})^2} = |\sqrt{5}-\sqrt{4}|$.

Поскольку $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4}$, и выражение $\sqrt{5}-\sqrt{4}$ положительно. Следовательно, знак модуля можно опустить.

$\sqrt{5}-\sqrt{4} = \sqrt{5}-2$.

Ответ: $\sqrt{5}-2$.

2)

Рассмотрим выражение $\sqrt{7-2\sqrt{10}}$.

Здесь подкоренное выражение уже представлено в удобной форме, где есть удвоенное произведение $2\sqrt{10}$. Нам нужно найти два числа $x$ и $y$ такие, что их сумма $x+y=7$, а произведение $xy=10$.

Очевидно, что этими числами являются 5 и 2, так как $5+2=7$ и $5 \cdot 2=10$.

Представим подкоренное выражение как полный квадрат:

$7-2\sqrt{10} = (5+2) - 2\sqrt{5 \cdot 2} = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$.

Тогда исходное выражение упрощается до:

$\sqrt{7-2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{5}-\sqrt{2}|$.

Так как $5>2$, то $\sqrt{5}>\sqrt{2}$, поэтому выражение под модулем положительно, и знак модуля можно убрать.

Ответ: $\sqrt{5}-\sqrt{2}$.

3)

Рассмотрим выражение $\sqrt{37-20\sqrt{3}}$.

Как и в первом примере, приведем выражение к виду с удвоенным произведением:

$20\sqrt{3} = 2 \cdot 10\sqrt{3}$.

Внесем множитель 10 под знак корня: $10\sqrt{3} = \sqrt{10^2 \cdot 3} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{300}$.

Выражение принимает вид: $\sqrt{37 - 2\sqrt{300}}$.

Теперь ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=37$ и $xy=300$.

Разложим 300 на множители и проверим их сумму. Пара 25 и 12 удовлетворяет условиям: $25+12=37$ и $25 \cdot 12=300$.

Представим подкоренное выражение как полный квадрат, используя числа 25 и 12:

$37-2\sqrt{300} = (25+12) - 2\sqrt{25 \cdot 12} = (\sqrt{25})^2 - 2\sqrt{25}\sqrt{12} + (\sqrt{12})^2 = (\sqrt{25}-\sqrt{12})^2$.

Следовательно, исходное выражение равно:

$\sqrt{37-20\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{25}-\sqrt{12})^2} = |\sqrt{25}-\sqrt{12}|$.

Так как $25>12$, то $\sqrt{25}>\sqrt{12}$, и выражение под модулем положительно. Знак модуля можно опустить.

Упростим результат: $\sqrt{25}-\sqrt{12} = 5 - \sqrt{4 \cdot 3} = 5 - 2\sqrt{3}$.

Ответ: $5-2\sqrt{3}$.

607. Сколько корней имеет уравнение $\sqrt{x} = a - x$ в зависимости от значения $a$?

Для определения количества корней уравнения $\sqrt{x} = a - x$ в зависимости от параметра $a$, можно использовать графический или аналитический метод.

Рассмотрим данное уравнение как равенство двух функций: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = a - x$. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

1. График функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x=y^2$, которая расположена в первой координатной четверти. Она начинается в точке $(0, 0)$ и является монотонно возрастающей.

2. График функции $y_2 = a - x$ (или $y_2 = -x + a$) — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом, равным -1. Параметр $a$ является y-координатой точки пересечения прямой с осью OY, то есть он отвечает за вертикальный сдвиг прямой.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения параметра $a$:

• При $a < 0$: Прямая $y = -x + a$ пересекает ось OY в точке $(0, a)$, которая находится ниже оси OX. Поскольку угловой коэффициент прямой отрицателен, вся ее часть при $x \ge 0$ лежит в IV координатной четверти, где $y < 0$. График функции $y = \sqrt{x}$ полностью находится в I координатной четверти, где $y \ge 0$. Таким образом, графики не имеют общих точек. Уравнение не имеет корней.

• При $a = 0$: Прямая принимает вид $y = -x$ и проходит через начало координат. График $y = \sqrt{x}$ также проходит через начало координат. Это их единственная точка пересечения, так как для всех $x > 0$ выполняется неравенство $\sqrt{x} > -x$. Следовательно, при $a=0$ уравнение имеет ровно один корень: $x=0$.

• При $a > 0$: Прямая $y = -x + a$ пересекает ось OY в точке $(0, a)$ над осью OX. В точке $x=0$ прямая находится выше графика $y=\sqrt{x}$ (так как $a > 0$). Функция $y=\sqrt{x}$ является вогнутой (выпуклой вверх), а прямая $y=-x+a$ — убывающей. Так как прямая "стартует" выше графика и убывает быстрее, чем растет корень на начальном этапе, а затем уходит в отрицательные значения, в то время как корень продолжает расти, они обязательно пересекутся. В силу монотонности и выпуклости функций, точка пересечения будет единственной. Следовательно, при $a > 0$ уравнение имеет один корень.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения $\sqrt{x} = a - x$:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $a - x \ge 0$, что эквивалентно $x \le a$.

Таким образом, для существования решений необходимо выполнение системы неравенств $0 \le x \le a$. Эта система имеет решения только при $a \ge 0$. Если $a < 0$, то решений нет.

Рассмотрим случай $a \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Учитывая, что $x \ge 0$, имеем $t \ge 0$. Исходное уравнение примет вид:

$t = a - t^2$

Перегруппируем члены, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + t - a = 0$

Теперь задача сводится к нахождению количества неотрицательных корней ($t \ge 0$) этого квадратного уравнения.

Найдем дискриминант $D_t$:

$D_t = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a$

Поскольку мы рассматриваем случай $a \ge 0$, дискриминант $D_t = 1 + 4a \ge 1 > 0$. Это означает, что квадратное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Корни уравнения для $t$ находятся по формуле:

$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4a}}{2}$

Рассмотрим каждый корень отдельно:

Корень $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{1+4a}}{2}$

Так как $a \ge 0$, то $\sqrt{1+4a} \ge 1$. Тогда числитель $-1 - \sqrt{1+4a} \le -1 - 1 = -2$. Следовательно, $t_1 \le -1$. Этот корень всегда отрицательный и не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{1+4a}}{2}$

Так как $a \ge 0$, то $\sqrt{1+4a} \ge 1$. Тогда числитель $-1 + \sqrt{1+4a} \ge -1 + 1 = 0$. Следовательно, корень $t_2 \ge 0$. Этот корень всегда является неотрицательным.

Таким образом, при любом $a \ge 0$ существует ровно один неотрицательный корень для $t$. Каждому такому значению $t$ соответствует единственное решение для $x$ по формуле $x = t^2$.

Итог:

• При $a < 0$ уравнение не имеет действительных корней.
• При $a \ge 0$ уравнение имеет ровно один действительный корень.

Ответ: при $a < 0$ корней нет; при $a \ge 0$ — один корень.

608. Упростите выражение $ \sqrt{(\sqrt{a}+1)^2 - 4\sqrt{a}} + \sqrt{(\sqrt{a}-2)^2 + 8\sqrt{a}} $.

Для упрощения выражения сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в выражении присутствует корень $\sqrt{a}$, должно выполняться условие $a \ge 0$.

Исходное выражение: $\sqrt{(\sqrt{a}+1)^2 - 4\sqrt{a}} + \sqrt{(\sqrt{a}-2)^2 + 8\sqrt{a}}$.

Упростим каждое из двух слагаемых, преобразовав подкоренные выражения.

1. Упрощение первого подкоренного выражения

Рассмотрим выражение под первым знаком корня: $(\sqrt{a}+1)^2 - 4\sqrt{a}$.

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(\sqrt{a}+1)^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\cdot\sqrt{a}\cdot 1 + 1^2 = a + 2\sqrt{a} + 1$.

Теперь подставим это обратно в подкоренное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(a + 2\sqrt{a} + 1) - 4\sqrt{a} = a - 2\sqrt{a} + 1$.

Полученное выражение является полным квадратом разности и может быть свернуто по формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$:

$a - 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a})^2 - 2\cdot\sqrt{a}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a}-1)^2$.

2. Упрощение второго подкоренного выражения

Рассмотрим выражение под вторым знаком корня: $(\sqrt{a}-2)^2 + 8\sqrt{a}$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(\sqrt{a}-2)^2 = (\sqrt{a})^2 - 2\cdot\sqrt{a}\cdot 2 + 2^2 = a - 4\sqrt{a} + 4$.

Подставим это обратно в подкоренное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(a - 4\sqrt{a} + 4) + 8\sqrt{a} = a + 4\sqrt{a} + 4$.

Это выражение также является полным квадратом, но уже суммы, и сворачивается по формуле $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$:

$a + 4\sqrt{a} + 4 = (\sqrt{a})^2 + 2\cdot\sqrt{a}\cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{a}+2)^2$.

3. Преобразование исходного выражения и раскрытие модулей

После упрощения подкоренных выражений исходное выражение принимает вид:

$\sqrt{(\sqrt{a}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{a}+2)^2}$.

По свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, мы можем переписать выражение через модули:

$|\sqrt{a}-1| + |\sqrt{a}+2|$.

Для дальнейшего упрощения необходимо раскрыть модули. Для этого проанализируем знаки выражений, стоящих под знаком модуля.

Выражение $\sqrt{a}+2$ всегда положительно, так как по ОДЗ $\sqrt{a} \ge 0$, а значит $\sqrt{a}+2 \ge 2$. Поэтому $|\sqrt{a}+2| = \sqrt{a}+2$.

Знак выражения $\sqrt{a}-1$ зависит от величины $a$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $0 \le a < 1$

В этом интервале $0 \le \sqrt{a} < 1$, следовательно, разность $\sqrt{a}-1$ отрицательна. По определению модуля, $|\sqrt{a}-1| = -(\sqrt{a}-1) = 1-\sqrt{a}$.

Тогда исходное выражение равно:

$(1-\sqrt{a}) + (\sqrt{a}+2) = 1 - \sqrt{a} + \sqrt{a} + 2 = 3$.

Случай 2: $a \ge 1$

В этом случае $\sqrt{a} \ge 1$, следовательно, разность $\sqrt{a}-1$ неотрицательна. По определению модуля, $|\sqrt{a}-1| = \sqrt{a}-1$.

Тогда исходное выражение равно:

$(\sqrt{a}-1) + (\sqrt{a}+2) = \sqrt{a} - 1 + \sqrt{a} + 2 = 2\sqrt{a} + 1$.

Таким образом, итоговый вид выражения зависит от значения переменной $a$.

Ответ: если $0 \le a < 1$, то выражение равно $3$; если $a \ge 1$, то выражение равно $2\sqrt{a} + 1$.

609. Упростите выражение $\sqrt{(\sqrt{a}-6)^2 + 24\sqrt{a}} - \sqrt{(\sqrt{a}+6)^2 - 24\sqrt{a}}$

Для упрощения данного выражения сначала преобразуем выражения, находящиеся под знаками больших корней. Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ): так как в выражении присутствует $ \sqrt{a} $, то должно выполняться условие $ a \ge 0 $.

Рассмотрим первое подкоренное выражение: $ (\sqrt{a}-6)^2 + 24\sqrt{a} $.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $:
$ (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 6 + 6^2 + 24\sqrt{a} = a - 12\sqrt{a} + 36 + 24\sqrt{a} $.
Приведем подобные слагаемые:
$ a + (-12\sqrt{a} + 24\sqrt{a}) + 36 = a + 12\sqrt{a} + 36 $.
Заметим, что полученное выражение является полным квадратом суммы по формуле $ x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 $:
$ a + 12\sqrt{a} + 36 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 6 + 6^2 = (\sqrt{a}+6)^2 $.

Теперь рассмотрим второе подкоренное выражение: $ (\sqrt{a}+6)^2 - 24\sqrt{a} $.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $:
$ (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 6 + 6^2 - 24\sqrt{a} = a + 12\sqrt{a} + 36 - 24\sqrt{a} $.
Приведем подобные слагаемые:
$ a + (12\sqrt{a} - 24\sqrt{a}) + 36 = a - 12\sqrt{a} + 36 $.
Это выражение, в свою очередь, является полным квадратом разности:
$ a - 12\sqrt{a} + 36 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 6 + 6^2 = (\sqrt{a}-6)^2 $.

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$ \sqrt{(\sqrt{a}+6)^2} - \sqrt{(\sqrt{a}-6)^2} $.

Теперь воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $ \sqrt{x^2} = |x| $:
$ |\sqrt{a}+6| - |\sqrt{a}-6| $.

Далее необходимо раскрыть модули.
Для первого модуля $ |\sqrt{a}+6| $: поскольку по ОДЗ $ a \ge 0 $, то $ \sqrt{a} \ge 0 $, и, следовательно, сумма $ \sqrt{a}+6 $ всегда положительна. Таким образом, $ |\sqrt{a}+6| = \sqrt{a}+6 $.
Для второго модуля $ |\sqrt{a}-6| $ знак подмодульного выражения $ \sqrt{a}-6 $ зависит от значения $ a $. Необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $ \sqrt{a}-6 \ge 0 $.
Это неравенство равносильно $ \sqrt{a} \ge 6 $, что при возведении в квадрат обеих частей дает $ a \ge 36 $.
В этом случае $ |\sqrt{a}-6| = \sqrt{a}-6 $.
Выражение принимает вид: $ (\sqrt{a}+6) - (\sqrt{a}-6) = \sqrt{a}+6 - \sqrt{a}+6 = 12 $.

Случай 2: $ \sqrt{a}-6 < 0 $.
Это неравенство равносильно $ \sqrt{a} < 6 $, что при возведении в квадрат дает $ a < 36 $. Учитывая ОДЗ ($ a \ge 0 $), получаем $ 0 \le a < 36 $.
В этом случае $ |\sqrt{a}-6| = -(\sqrt{a}-6) = 6 - \sqrt{a} $.
Выражение принимает вид: $ (\sqrt{a}+6) - (6 - \sqrt{a}) = \sqrt{a}+6 - 6 + \sqrt{a} = 2\sqrt{a} $.

Таким образом, значение исходного выражения зависит от значения переменной $a$.
Ответ: $ 12 $ при $ a \ge 36 $; $ 2\sqrt{a} $ при $ 0 \le a < 36 $.