Номер 605, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Упражнения - номер 605, страница 149.

Условие.

605. Упростите выражение:

1) $\sqrt{8-2\sqrt{7}};$

2) $\sqrt{5-2\sqrt{6}};$

3) $\sqrt{12-6\sqrt{3}};$

4) $\sqrt{38-12\sqrt{2}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение, представим подкоренное выражение $8 - 2\sqrt{7}$ в виде полного квадрата разности $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x+y - 2\sqrt{xy}$. Для этого нам нужно найти такие числа $x$ и $y$, что их сумма $x+y=8$, а их произведение $xy=7$. Легко подобрать такие числа: $x=7$ и $y=1$. Проверяем: $7+1=8$ и $7 \cdot 1=7$. Таким образом, мы можем записать: $8 - 2\sqrt{7} = (7+1) - 2\sqrt{7 \cdot 1} = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\cdot\sqrt{1} + (\sqrt{1})^2 = (\sqrt{7}-1)^2$. Тогда исходное выражение равно $\sqrt{(\sqrt{7}-1)^2}$. Поскольку $\sqrt{7} > 1$, выражение $\sqrt{7}-1$ положительно, и, следовательно, $\sqrt{(\sqrt{7}-1)^2} = \sqrt{7}-1$. Ответ: $\sqrt{7}-1$.

2) Аналогично предыдущему пункту, ищем представление подкоренного выражения $5 - 2\sqrt{6}$ в виде $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x+y - 2\sqrt{xy}$. Нам нужны числа $x$ и $y$, для которых $x+y=5$ и $xy=6$. Очевидно, что подходят числа $x=3$ и $y=2$. Проверяем: $3+2=5$ и $3 \cdot 2=6$. Тогда $5 - 2\sqrt{6} = (3+2) - 2\sqrt{3 \cdot 2} = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$. Следовательно, $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3}-\sqrt{2}|$. Так как $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, то $\sqrt{3}-\sqrt{2} > 0$, и результат равен $\sqrt{3}-\sqrt{2}$. Ответ: $\sqrt{3}-\sqrt{2}$.

3) В этом выражении перед внутренним корнем стоит коэффициент 6, а нам нужен 2. Преобразуем выражение: $12 - 6\sqrt{3} = 12 - 2 \cdot 3\sqrt{3}$. Внесем множитель 3 под знак корня: $3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$. Таким образом, исходное выражение можно переписать как $\sqrt{12 - 2\sqrt{27}}$. Теперь ищем числа $x$ и $y$, такие что $x+y=12$ и $xy=27$. Подходят числа $x=9$ и $y=3$. Проверяем: $9+3=12$ и $9 \cdot 3=27$. Значит, $12 - 2\sqrt{27} = (9+3) - 2\sqrt{9 \cdot 3} = (\sqrt{9}-\sqrt{3})^2 = (3-\sqrt{3})^2$. Тогда $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = |3-\sqrt{3}|$. Поскольку $3=\sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{3}$, разность $3-\sqrt{3}$ положительна. Результат: $3-\sqrt{3}$. Ответ: $3-\sqrt{3}$.

4) Преобразуем подкоренное выражение, чтобы получить множитель 2 перед внутренним корнем. $12\sqrt{2} = 2 \cdot 6\sqrt{2}$. Внесем 6 под корень: $6\sqrt{2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}$. Выражение принимает вид $\sqrt{38 - 2\sqrt{72}}$. Теперь нам нужно найти два числа $x$ и $y$, сумма которых $x+y=38$, а произведение $xy=72$. Подбирая пары множителей числа 72, находим, что $36+2=38$ и $36 \cdot 2=72$. Значит, $x=36$ и $y=2$. Тогда $38 - 2\sqrt{72} = (36+2) - 2\sqrt{36 \cdot 2} = (\sqrt{36}-\sqrt{2})^2 = (6-\sqrt{2})^2$. Следовательно, $\sqrt{38 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{(6-\sqrt{2})^2} = |6-\sqrt{2}|$. Так как $6 > \sqrt{2}$, разность $6-\sqrt{2}$ положительна, и окончательный результат $6-\sqrt{2}$. Ответ: $6-\sqrt{2}$.