Номер 612, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 612, страница 150.

Условие.

612. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{a - 2b}{a^2 + 2ab} - \frac{1}{a^2 - 4b^2} : \frac{a + 2b}{(2b - a)^2}\right) : \frac{a^2 - 2ab}{a^2 + 4ab + 4b^2} = \frac{2b}{a^2};$

2) $\left(\frac{2a}{a + 3} - \frac{4a}{a^2 + 6a + 9}\right) \cdot \frac{a^2 - 9}{a + 1} - \frac{a^2 - 9a}{a + 3} = a.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть выражения по действиям.

Сначала выполним деление в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители и заменим деление умножением на обратную дробь. Заметим, что $(2b-a)^2 = (-(a-2b))^2 = (a-2b)^2$.

$ \frac{1}{a^2-4b^2} : \frac{a+2b}{(2b-a)^2} = \frac{1}{(a-2b)(a+2b)} \cdot \frac{(a-2b)^2}{a+2b} = \frac{(a-2b)^2}{(a-2b)(a+2b)^2} = \frac{a-2b}{(a+2b)^2} $

Теперь выполним вычитание в скобках, используя полученный результат. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $a^2+2ab = a(a+2b)$.

$ \frac{a-2b}{a^2+2ab} - \frac{a-2b}{(a+2b)^2} = \frac{a-2b}{a(a+2b)} - \frac{a-2b}{(a+2b)^2} $

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a+2b)^2$:

$ \frac{(a-2b)(a+2b)}{a(a+2b)^2} - \frac{a(a-2b)}{a(a+2b)^2} = \frac{a^2-4b^2 - (a^2-2ab)}{a(a+2b)^2} = \frac{a^2-4b^2-a^2+2ab}{a(a+2b)^2} = \frac{2ab-4b^2}{a(a+2b)^2} = \frac{2b(a-2b)}{a(a+2b)^2} $

Наконец, выполним последнее деление. Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби: $a^2-2ab = a(a-2b)$ и $a^2+4ab+4b^2 = (a+2b)^2$.

$ \frac{2b(a-2b)}{a(a+2b)^2} : \frac{a^2-2ab}{a^2+4ab+4b^2} = \frac{2b(a-2b)}{a(a+2b)^2} \cdot \frac{(a+2b)^2}{a(a-2b)} $

Сократим общие множители $(a-2b)$ и $(a+2b)^2$:

$ \frac{2b}{a} \cdot \frac{1}{a} = \frac{2b}{a^2} $

Левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть выражения по действиям.

Сначала выполним вычитание в скобках. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $a^2+6a+9 = (a+3)^2$.

$ \frac{2a}{a+3} - \frac{4a}{a^2+6a+9} = \frac{2a}{a+3} - \frac{4a}{(a+3)^2} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(a+3)^2$:

$ \frac{2a(a+3)}{(a+3)^2} - \frac{4a}{(a+3)^2} = \frac{2a^2+6a-4a}{(a+3)^2} = \frac{2a^2+2a}{(a+3)^2} = \frac{2a(a+1)}{(a+3)^2} $

Теперь выполним умножение. Разложим числитель второй дроби на множители: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.

$ \frac{2a(a+1)}{(a+3)^2} \cdot \frac{a^2-9}{a+1} = \frac{2a(a+1)}{(a+3)^2} \cdot \frac{(a-3)(a+3)}{a+1} $

Сократим общие множители $(a+1)$ и $(a+3)$:

$ \frac{2a}{a+3} \cdot (a-3) = \frac{2a(a-3)}{a+3} $

Наконец, выполним последнее действие. В исходном примере знак между выражениями нечеткий, но тождество выполняется при знаке "минус".

$ \frac{2a(a-3)}{a+3} - \frac{a^2-9a}{a+3} $

Так как знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$ \frac{2a(a-3) - (a^2-9a)}{a+3} = \frac{2a^2-6a-a^2+9a}{a+3} = \frac{a^2+3a}{a+3} $

Вынесем в числителе общий множитель $a$ за скобки и сократим дробь:

$ \frac{a(a+3)}{a+3} = a $

Левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.