Номер 614, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Упражнения - номер 614, страница 150.

Условие.

614. Решите уравнение:

1) $x^2 = 0$;

2) $x^2 - 1 = 0$;

3) $x^2 + 5x = 0$;

4) $-3x^2 + 12 = 0$;

5) $5x^2 - 6x = 0$;

6) $0.2x^2 + 2 = 0$;

7) $\frac{1}{6}x^2 - 5x = 0$;

8) $x^2 - 2x + 1 = 0$;

9) $9x^2 + 30x + 25 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение $x^2 = 0$. Это простейшее неполное квадратное уравнение. Чтобы найти его корень, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения.
$x = \sqrt{0}$
$x = 0$
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $x = 0$.

2) Дано уравнение $x^2 - 1 = 0$. Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения.
$x^2 = 1$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Следует помнить, что существует два числа, квадрат которых равен 1.
$x = \pm\sqrt{1}$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

3) Дано уравнение $x^2 + 5x = 0$. Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки.
$x(x + 5) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x = 0$ или $x + 5 = 0$
Из второго уравнения находим второй корень: $x = -5$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -5$.

4) Дано уравнение $-3x^2 + 12 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть.
$-3x^2 = -12$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на $-3$.
$x^2 = \frac{-12}{-3}$
$x^2 = 4$
Извлечем квадратный корень из обеих частей.
$x = \pm\sqrt{4}$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$
Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

5) Дано уравнение $5x^2 - 6x = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
$x(5x - 6) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю.
$x = 0$ или $5x - 6 = 0$
Решим второе уравнение:
$5x = 6$
$x = \frac{6}{5}$
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{6}{5}$.

6) Дано уравнение $0,2x^2 + 2 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть.
$0,2x^2 = -2$
Разделим обе части уравнения на $0,2$.
$x^2 = \frac{-2}{0,2}$
$x^2 = -10$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет действительных корней.

7) Дано уравнение $\frac{1}{6}x^2 - 5x = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
$x(\frac{1}{6}x - 5) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю.
$x = 0$ или $\frac{1}{6}x - 5 = 0$
Решим второе уравнение:
$\frac{1}{6}x = 5$
Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дроби.
$x = 5 \cdot 6$
$x = 30$
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 30$.

8) Дано уравнение $x^2 - 2x + 1 = 0$. Это полное квадратное уравнение. Можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном случае $a = x$ и $b = 1$.
$(x - 1)^2 = 0$
Извлечем квадратный корень из обеих частей.
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
Ответ: $x = 1$.

9) Дано уравнение $9x^2 + 30x + 25 = 0$. Это полное квадратное уравнение. Левая часть также является полным квадратом, на этот раз квадратом суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Здесь $a^2 = 9x^2 \implies a = 3x$, а $b^2 = 25 \implies b = 5$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x$. Это совпадает с уравнением.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(3x + 5)^2 = 0$
Извлечем квадратный корень из обеих частей.
$3x + 5 = 0$
$3x = -5$
$x = -\frac{5}{3}$
Ответ: $x = -\frac{5}{3}$.