Номер 607, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Упражнения - номер 607, страница 149.

Условие.

607. Сколько корней имеет уравнение $\sqrt{x} = a - x$ в зависимости от значения $a$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для определения количества корней уравнения $\sqrt{x} = a - x$ в зависимости от параметра $a$, можно использовать графический или аналитический метод.

Графическое решение

Рассмотрим данное уравнение как равенство двух функций: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = a - x$. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

1. График функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x=y^2$, которая расположена в первой координатной четверти. Она начинается в точке $(0, 0)$ и является монотонно возрастающей.

2. График функции $y_2 = a - x$ (или $y_2 = -x + a$) — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом, равным -1. Параметр $a$ является y-координатой точки пересечения прямой с осью OY, то есть он отвечает за вертикальный сдвиг прямой.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения параметра $a$:

• При $a < 0$: Прямая $y = -x + a$ пересекает ось OY в точке $(0, a)$, которая находится ниже оси OX. Поскольку угловой коэффициент прямой отрицателен, вся ее часть при $x \ge 0$ лежит в IV координатной четверти, где $y < 0$. График функции $y = \sqrt{x}$ полностью находится в I координатной четверти, где $y \ge 0$. Таким образом, графики не имеют общих точек. Уравнение не имеет корней.

• При $a = 0$: Прямая принимает вид $y = -x$ и проходит через начало координат. График $y = \sqrt{x}$ также проходит через начало координат. Это их единственная точка пересечения, так как для всех $x > 0$ выполняется неравенство $\sqrt{x} > -x$. Следовательно, при $a=0$ уравнение имеет ровно один корень: $x=0$.

• При $a > 0$: Прямая $y = -x + a$ пересекает ось OY в точке $(0, a)$ над осью OX. В точке $x=0$ прямая находится выше графика $y=\sqrt{x}$ (так как $a > 0$). Функция $y=\sqrt{x}$ является вогнутой (выпуклой вверх), а прямая $y=-x+a$ — убывающей. Так как прямая "стартует" выше графика и убывает быстрее, чем растет корень на начальном этапе, а затем уходит в отрицательные значения, в то время как корень продолжает расти, они обязательно пересекутся. В силу монотонности и выпуклости функций, точка пересечения будет единственной. Следовательно, при $a > 0$ уравнение имеет один корень.

Аналитическое решение

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения $\sqrt{x} = a - x$:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $a - x \ge 0$, что эквивалентно $x \le a$.

Таким образом, для существования решений необходимо выполнение системы неравенств $0 \le x \le a$. Эта система имеет решения только при $a \ge 0$. Если $a < 0$, то решений нет.

Рассмотрим случай $a \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Учитывая, что $x \ge 0$, имеем $t \ge 0$. Исходное уравнение примет вид:

$t = a - t^2$

Перегруппируем члены, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + t - a = 0$

Теперь задача сводится к нахождению количества неотрицательных корней ($t \ge 0$) этого квадратного уравнения.

Найдем дискриминант $D_t$:

$D_t = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a$

Поскольку мы рассматриваем случай $a \ge 0$, дискриминант $D_t = 1 + 4a \ge 1 > 0$. Это означает, что квадратное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Корни уравнения для $t$ находятся по формуле:

$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4a}}{2}$

Рассмотрим каждый корень отдельно:

Корень $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{1+4a}}{2}$

Так как $a \ge 0$, то $\sqrt{1+4a} \ge 1$. Тогда числитель $-1 - \sqrt{1+4a} \le -1 - 1 = -2$. Следовательно, $t_1 \le -1$. Этот корень всегда отрицательный и не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{1+4a}}{2}$

Так как $a \ge 0$, то $\sqrt{1+4a} \ge 1$. Тогда числитель $-1 + \sqrt{1+4a} \ge -1 + 1 = 0$. Следовательно, корень $t_2 \ge 0$. Этот корень всегда является неотрицательным.

Таким образом, при любом $a \ge 0$ существует ровно один неотрицательный корень для $t$. Каждому такому значению $t$ соответствует единственное решение для $x$ по формуле $x = t^2$.

Итог:

• При $a < 0$ уравнение не имеет действительных корней.
• При $a \ge 0$ уравнение имеет ровно один действительный корень.

Ответ: при $a < 0$ корней нет; при $a \ge 0$ — один корень.