Номер 607, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 18. Функция у = √x и её график. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 607, страница 149.
№607 (с. 149)
Условие. №607 (с. 149)
скриншот условия

607. Сколько корней имеет уравнение $\sqrt{x} = a - x$ в зависимости от значения $a$?
Решение 1. №607 (с. 149)

Решение 2. №607 (с. 149)

Решение 3. №607 (с. 149)

Решение 4. №607 (с. 149)

Решение 5. №607 (с. 149)

Решение 6. №607 (с. 149)

Решение 7. №607 (с. 149)

Решение 8. №607 (с. 149)
Для определения количества корней уравнения $\sqrt{x} = a - x$ в зависимости от параметра $a$, можно использовать графический или аналитический метод.
Графическое решениеРассмотрим данное уравнение как равенство двух функций: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = a - x$. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.
1. График функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x=y^2$, которая расположена в первой координатной четверти. Она начинается в точке $(0, 0)$ и является монотонно возрастающей.
2. График функции $y_2 = a - x$ (или $y_2 = -x + a$) — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом, равным -1. Параметр $a$ является y-координатой точки пересечения прямой с осью OY, то есть он отвечает за вертикальный сдвиг прямой.
Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения параметра $a$:
При $a < 0$: Прямая $y = -x + a$ пересекает ось OY в точке $(0, a)$, которая находится ниже оси OX. Поскольку угловой коэффициент прямой отрицателен, вся ее часть при $x \ge 0$ лежит в IV координатной четверти, где $y < 0$. График функции $y = \sqrt{x}$ полностью находится в I координатной четверти, где $y \ge 0$. Таким образом, графики не имеют общих точек. Уравнение не имеет корней.
При $a = 0$: Прямая принимает вид $y = -x$ и проходит через начало координат. График $y = \sqrt{x}$ также проходит через начало координат. Это их единственная точка пересечения, так как для всех $x > 0$ выполняется неравенство $\sqrt{x} > -x$. Следовательно, при $a=0$ уравнение имеет ровно один корень: $x=0$.
При $a > 0$: Прямая $y = -x + a$ пересекает ось OY в точке $(0, a)$ над осью OX. В точке $x=0$ прямая находится выше графика $y=\sqrt{x}$ (так как $a > 0$). Функция $y=\sqrt{x}$ является вогнутой (выпуклой вверх), а прямая $y=-x+a$ — убывающей. Так как прямая "стартует" выше графика и убывает быстрее, чем растет корень на начальном этапе, а затем уходит в отрицательные значения, в то время как корень продолжает расти, они обязательно пересекутся. В силу монотонности и выпуклости функций, точка пересечения будет единственной. Следовательно, при $a > 0$ уравнение имеет один корень.
Определим область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения $\sqrt{x} = a - x$:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $a - x \ge 0$, что эквивалентно $x \le a$.
Таким образом, для существования решений необходимо выполнение системы неравенств $0 \le x \le a$. Эта система имеет решения только при $a \ge 0$. Если $a < 0$, то решений нет.
Рассмотрим случай $a \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Учитывая, что $x \ge 0$, имеем $t \ge 0$. Исходное уравнение примет вид:
$t = a - t^2$
Перегруппируем члены, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 + t - a = 0$
Теперь задача сводится к нахождению количества неотрицательных корней ($t \ge 0$) этого квадратного уравнения.
Найдем дискриминант $D_t$:
$D_t = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a$
Поскольку мы рассматриваем случай $a \ge 0$, дискриминант $D_t = 1 + 4a \ge 1 > 0$. Это означает, что квадратное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.
Корни уравнения для $t$ находятся по формуле:
$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4a}}{2}$
Рассмотрим каждый корень отдельно:
Корень $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{1+4a}}{2}$
Так как $a \ge 0$, то $\sqrt{1+4a} \ge 1$. Тогда числитель $-1 - \sqrt{1+4a} \le -1 - 1 = -2$. Следовательно, $t_1 \le -1$. Этот корень всегда отрицательный и не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{1+4a}}{2}$
Так как $a \ge 0$, то $\sqrt{1+4a} \ge 1$. Тогда числитель $-1 + \sqrt{1+4a} \ge -1 + 1 = 0$. Следовательно, корень $t_2 \ge 0$. Этот корень всегда является неотрицательным.
Таким образом, при любом $a \ge 0$ существует ровно один неотрицательный корень для $t$. Каждому такому значению $t$ соответствует единственное решение для $x$ по формуле $x = t^2$.
Итог:
- При $a < 0$ уравнение не имеет действительных корней.
- При $a \ge 0$ уравнение имеет ровно один действительный корень.
Ответ: при $a < 0$ корней нет; при $a \ge 0$ — один корень.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 607 расположенного на странице 149 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №607 (с. 149), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.