Страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

563. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{-m^9}$;

2) $\sqrt{a^4b^{13}}$, если $a \ne 0$;

3) $\sqrt{4x^6y}$, если $x < 0$;

4) $\sqrt{m^7n^7}$, если $m \le 0, n \le 0$;

5) $\sqrt{45x^3y^{14}}$, если $y < 0$;

6) $\sqrt{64a^2b^9}$, если $a > 0$;

7) $\sqrt{242m^{11}b^{18}}$, если $b < 0$;

8) $\sqrt{-m^2n^2p^{15}}$, если $m > 0, n < 0$.

1) Для того чтобы корень $\sqrt{-m^9}$ был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-m^9 \ge 0$, откуда $m^9 \le 0$ и, следовательно, $m \le 0$. Представим подкоренное выражение в виде $\sqrt{m^8 \cdot (-m)}$. Так как при $m \le 0$ выражение $-m \ge 0$, можно вынести множитель: $\sqrt{(m^4)^2 \cdot (-m)} = |m^4|\sqrt{-m}$. Поскольку $m^4$ всегда неотрицательно ($m^4 \ge 0$), то $|m^4| = m^4$. В итоге получаем $m^4\sqrt{-m}$.
Ответ: $m^4\sqrt{-m}$

2) Для того чтобы выражение $\sqrt{a^4b^{13}}$ было определено, необходимо, чтобы $a^4b^{13} \ge 0$. Так как $a^4 \ge 0$ для любого $a$ (и $a^4 > 0$ при $a \neq 0$), то должно выполняться условие $b^{13} \ge 0$, что означает $b \ge 0$. Преобразуем выражение: $\sqrt{a^4b^{13}} = \sqrt{a^4 \cdot b^{12} \cdot b} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot (b^6)^2 \cdot b} = |a^2||b^6|\sqrt{b}$. Поскольку $a^2 \ge 0$ и $b^6 \ge 0$ (так как $b \ge 0$), то $|a^2| = a^2$ и $|b^6| = b^6$. Получаем $a^2b^6\sqrt{b}$.
Ответ: $a^2b^6\sqrt{b}$

3) Для того чтобы выражение $\sqrt{4x^6y}$ было определено, необходимо, чтобы $4x^6y \ge 0$. Поскольку $4 > 0$ и $x^6 \ge 0$ (и $x^6 > 0$ при $x < 0$), то должно выполняться условие $y \ge 0$. Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{4x^6y} = \sqrt{2^2 \cdot (x^3)^2 \cdot y} = |2| \cdot |x^3| \cdot \sqrt{y} = 2|x^3|\sqrt{y}$. По условию $x < 0$, следовательно, $x^3 < 0$, и поэтому $|x^3| = -x^3$. Подставив, получим $2(-x^3)\sqrt{y} = -2x^3\sqrt{y}$.
Ответ: $-2x^3\sqrt{y}$

4) Для того чтобы выражение $\sqrt{m^7n^7}$ было определено, необходимо, чтобы $m^7n^7 \ge 0$, или $(mn)^7 \ge 0$, что равносильно $mn \ge 0$. По условию $m \le 0$ и $n \le 0$, их произведение $mn \ge 0$, так что условие выполняется. Преобразуем выражение: $\sqrt{m^7n^7} = \sqrt{m^6n^6 \cdot mn} = \sqrt{(m^3n^3)^2 \cdot mn} = |m^3n^3|\sqrt{mn}$. Так как $m \le 0$ и $n \le 0$, то $m^3 \le 0$ и $n^3 \le 0$. Их произведение $m^3n^3 \ge 0$, поэтому $|m^3n^3| = m^3n^3$. В итоге получаем $m^3n^3\sqrt{mn}$.
Ответ: $m^3n^3\sqrt{mn}$

5) Для того чтобы выражение $\sqrt{45x^3y^{14}}$ было определено, необходимо, чтобы $45x^3y^{14} \ge 0$. По условию $y < 0$, поэтому $y^{14} > 0$. Следовательно, должно выполняться $x^3 \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Преобразуем выражение: $\sqrt{45x^3y^{14}} = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot x \cdot y^{14}} = \sqrt{3^2 \cdot x^2 \cdot (y^7)^2 \cdot 5x} = |3||x||y^7|\sqrt{5x} = 3|x||y^7|\sqrt{5x}$. Так как $x \ge 0$, то $|x| = x$. Так как $y < 0$, то $y^7 < 0$ и $|y^7| = -y^7$. Подставляя, получаем $3x(-y^7)\sqrt{5x} = -3xy^7\sqrt{5x}$.
Ответ: $-3xy^7\sqrt{5x}$

6) Для того чтобы выражение $\sqrt{64a^2b^9}$ было определено, необходимо, чтобы $64a^2b^9 \ge 0$. По условию $a > 0$, поэтому $a^2 > 0$. Следовательно, должно выполняться $b^9 \ge 0$, что означает $b \ge 0$. Преобразуем выражение: $\sqrt{64a^2b^9} = \sqrt{8^2 \cdot a^2 \cdot b^8 \cdot b} = \sqrt{8^2 \cdot a^2 \cdot (b^4)^2 \cdot b} = |8||a||b^4|\sqrt{b} = 8|a|b^4\sqrt{b}$. Так как $a > 0$, то $|a|=a$. Получаем $8ab^4\sqrt{b}$.
Ответ: $8ab^4\sqrt{b}$

7) Для того чтобы выражение $\sqrt{242m^{11}b^{18}}$ было определено, необходимо, чтобы $242m^{11}b^{18} \ge 0$. По условию $b < 0$, поэтому $b^{18} > 0$. Следовательно, должно выполняться $m^{11} \ge 0$, что означает $m \ge 0$. Преобразуем выражение: $\sqrt{242m^{11}b^{18}} = \sqrt{121 \cdot 2 \cdot m^{10} \cdot m \cdot b^{18}} = \sqrt{11^2 \cdot (m^5)^2 \cdot (b^9)^2 \cdot 2m} = |11||m^5||b^9|\sqrt{2m} = 11|m^5||b^9|\sqrt{2m}$. Так как $m \ge 0$, то $m^5 \ge 0$ и $|m^5|=m^5$. Так как $b < 0$, то $b^9 < 0$ и $|b^9| = -b^9$. Подставляя, получаем $11m^5(-b^9)\sqrt{2m} = -11m^5b^9\sqrt{2m}$.
Ответ: $-11m^5b^9\sqrt{2m}$

8) Для того чтобы выражение $\sqrt{-m^2n^2p^{15}}$ было определено, необходимо, чтобы $-m^2n^2p^{15} \ge 0$. По условию $m > 0$ и $n < 0$, поэтому $m^2 > 0$ и $n^2 > 0$. Следовательно, должно выполняться $-p^{15} \ge 0$, что означает $p^{15} \le 0$, и, следовательно, $p \le 0$. Преобразуем выражение: $\sqrt{-m^2n^2p^{15}} = \sqrt{m^2n^2p^{14} \cdot (-p)} = \sqrt{m^2 \cdot n^2 \cdot (p^7)^2 \cdot (-p)} = |m||n||p^7|\sqrt{-p}$. По условиям: $m > 0 \implies |m|=m$; $n < 0 \implies |n|=-n$; $p \le 0 \implies p^7 \le 0 \implies |p^7| = -p^7$. Подставляя, получаем $m(-n)(-p^7)\sqrt{-p} = mnp^7\sqrt{-p}$.
Ответ: $mnp^7\sqrt{-p}$

564. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{-m^{19}}$;
2) $\sqrt{a^{23}b^{24}}$, если $b \neq 0$;
3) $\sqrt{49a^2b}$, если $a < 0$;
4) $\sqrt{a^9b^9}$;
5) $\sqrt{27x^{15}y^{34}}$, если $y < 0$;
6) $\sqrt{-50m^6n^6p^7}$, если $m > 0, n > 0$.

1) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{-m^{19}} $.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $ -m^{19} \ge 0 $. Умножив обе части на -1, получим $ m^{19} \le 0 $, что означает $ m \le 0 $.
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень. Для этого степень переменной должна быть четной.
$ \sqrt{-m^{19}} = \sqrt{-1 \cdot m^{18} \cdot m} = \sqrt{m^{18} \cdot (-m)} $
Теперь вынесем множитель $ m^{18} $ из-под корня. Используем свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $.
$ \sqrt{m^{18} \cdot (-m)} = \sqrt{(m^9)^2 \cdot (-m)} = |m^9|\sqrt{-m} $
Так как по условию $ m \le 0 $, то $ m^9 $ (нечетная степень) также будет меньше или равна нулю ($ m^9 \le 0 $).
Следовательно, модуль $ |m^9| $ раскрывается как $ -m^9 $.
Получаем: $ -m^9\sqrt{-m} $.
Ответ: $ -m^9\sqrt{-m} $

2) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{a^{23}b^{24}} $, если $ b \ne 0 $.
Подкоренное выражение $ a^{23}b^{24} $ должно быть неотрицательным. Поскольку $ b^{24} = (b^{12})^2 \ge 0 $ для любого $ b $, то для выполнения условия $ a^{23}b^{24} \ge 0 $ необходимо, чтобы $ a^{23} \ge 0 $, что означает $ a \ge 0 $.
Представим степени в виде произведения:
$ \sqrt{a^{23}b^{24}} = \sqrt{a^{22} \cdot a \cdot b^{24}} = \sqrt{(a^{11})^2 \cdot (b^{12})^2 \cdot a} $
Вынесем множители из-под корня:
$ \sqrt{(a^{11})^2 \cdot (b^{12})^2 \cdot a} = |a^{11}| \cdot |b^{12}| \cdot \sqrt{a} $
Раскроем модули:
Так как $ a \ge 0 $, то $ a^{11} \ge 0 $, следовательно, $ |a^{11}| = a^{11} $.
Выражение $ b^{12} $ всегда неотрицательно, поэтому $ |b^{12}| = b^{12} $.
Итоговый результат: $ a^{11}b^{12}\sqrt{a} $.
Ответ: $ a^{11}b^{12}\sqrt{a} $

3) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{49a^2b} $, если $ a < 0 $.
Подкоренное выражение $ 49a^2b \ge 0 $. Так как $ 49 > 0 $ и $ a^2 \ge 0 $, то для выполнения этого условия необходимо, чтобы $ b \ge 0 $.
$ \sqrt{49a^2b} = \sqrt{7^2 \cdot a^2 \cdot b} $
Выносим множители из-под корня:
$ \sqrt{7^2 \cdot a^2 \cdot b} = \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = 7 \cdot |a| \cdot \sqrt{b} $
По условию $ a < 0 $, поэтому модуль $ |a| $ раскрывается как $ -a $.
Подставляем значение модуля: $ 7 \cdot (-a) \cdot \sqrt{b} = -7a\sqrt{b} $.
Ответ: $ -7a\sqrt{b} $

4) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{a^9b^9} $.
Подкоренное выражение $ a^9b^9 = (ab)^9 $ должно быть неотрицательным, откуда следует, что $ ab \ge 0 $. Это значит, что переменные $ a $ и $ b $ имеют одинаковые знаки или равны нулю.
Представим выражение в удобном для извлечения корня виде:
$ \sqrt{a^9b^9} = \sqrt{a^8 \cdot a \cdot b^8 \cdot b} = \sqrt{(a^8b^8) \cdot (ab)} = \sqrt{(a^4b^4)^2 \cdot (ab)} $
Вынесем множитель из-под корня:
$ |a^4b^4|\sqrt{ab} $
Так как степени 4 — четные, $ a^4 \ge 0 $ и $ b^4 \ge 0 $, их произведение $ a^4b^4 \ge 0 $. Следовательно, $ |a^4b^4| = a^4b^4 $.
Получаем: $ a^4b^4\sqrt{ab} $.
Ответ: $ a^4b^4\sqrt{ab} $

5) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{27x^{15}y^{34}} $, если $ y < 0 $.
Подкоренное выражение $ 27x^{15}y^{34} \ge 0 $. Поскольку $ 27 > 0 $ и $ y^{34}=(y^{17})^2 \ge 0 $, то для выполнения условия необходимо, чтобы $ x^{15} \ge 0 $, что означает $ x \ge 0 $.
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей:
$ \sqrt{27x^{15}y^{34}} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot x^{14} \cdot x \cdot y^{34}} = \sqrt{3^2 \cdot (x^7)^2 \cdot (y^{17})^2 \cdot 3x} $
Вынесем множители из-под корня:
$ \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{(x^7)^2} \cdot \sqrt{(y^{17})^2} \cdot \sqrt{3x} = 3 \cdot |x^7| \cdot |y^{17}| \cdot \sqrt{3x} $
Раскроем модули с учетом условий:
Так как $ x \ge 0 $, то $ x^7 \ge 0 $, следовательно, $ |x^7| = x^7 $.
По условию $ y < 0 $, тогда $ y^{17} $ (нечетная степень) будет отрицательной ($ y^{17} < 0 $), следовательно, $ |y^{17}| = -y^{17} $.
Подставляем раскрытые модули в выражение: $ 3 \cdot x^7 \cdot (-y^{17}) \cdot \sqrt{3x} = -3x^7y^{17}\sqrt{3x} $.
Ответ: $ -3x^7y^{17}\sqrt{3x} $

6) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{-50m^6n^6p^7} $, если $ m > 0, n > 0 $.
Подкоренное выражение $ -50m^6n^6p^7 $ должно быть неотрицательным. Так как $ m > 0, n > 0 $, то $ m^6 > 0 $ и $ n^6 > 0 $. Множитель $ -50 $ отрицателен. Для того чтобы все выражение было неотрицательным, необходимо, чтобы $ p^7 $ было неположительным: $ p^7 \le 0 $, что означает $ p \le 0 $.
Представим подкоренное выражение в виде произведения:
$ \sqrt{-50m^6n^6p^7} = \sqrt{-1 \cdot 25 \cdot 2 \cdot m^6 \cdot n^6 \cdot p^6 \cdot p} = \sqrt{25 \cdot m^6 \cdot n^6 \cdot p^6 \cdot (-2p)} $
$ = \sqrt{5^2 \cdot (m^3)^2 \cdot (n^3)^2 \cdot (p^3)^2 \cdot (-2p)} $
Вынесем множители из-под корня:
$ 5 \cdot |m^3| \cdot |n^3| \cdot |p^3| \cdot \sqrt{-2p} $
Раскроем модули с учетом условий:
Так как $ m > 0 $, то $ m^3 > 0 $ и $ |m^3| = m^3 $.
Так как $ n > 0 $, то $ n^3 > 0 $ и $ |n^3| = n^3 $.
Так как $ p \le 0 $, то $ p^3 \le 0 $ и $ |p^3| = -p^3 $.
Подставляем значения: $ 5 \cdot m^3 \cdot n^3 \cdot (-p^3) \cdot \sqrt{-2p} = -5m^3n^3p^3\sqrt{-2p} $.
Ответ: $ -5m^3n^3p^3\sqrt{-2p} $

565. Внесите множитель под знак корня:

1) $a\sqrt{3}$;

2) $b\sqrt{-b}$;

3) $c\sqrt{c^5}$;

4) $m\sqrt{n}$, если $m \ge 0$;

5) $xy^2\sqrt{xy}$, если $x \le 0$;

6) $2p\sqrt{\frac{p}{2}}$;

7) $2p\sqrt{-\frac{p}{2}}$;

8) $ab^2\sqrt{\frac{a}{b}}$, если $a \ge 0$.

Для внесения множителя под знак квадратного корня используется следующее правило:

• Если множитель $A$ неотрицательный ($A \ge 0$), то $A\sqrt{B} = \sqrt{A^2 B}$.
• Если множитель $A$ отрицательный ($A < 0$), то $A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2 B}$.

Рассмотрим каждый пример подробно.

1) $a\sqrt{3}$

Знак множителя $a$ не указан, поэтому необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Если $a \ge 0$, то множитель неотрицательный. Вносим его под корень, возведя в квадрат:

$a\sqrt{3} = \sqrt{a^2 \cdot 3} = \sqrt{3a^2}$

Случай 2: Если $a < 0$, то множитель отрицательный. При внесении под корень перед ним ставится знак «минус»:

$a\sqrt{3} = -|a|\sqrt{3} = -\sqrt{|a|^2 \cdot 3} = -\sqrt{a^2 \cdot 3} = -\sqrt{3a^2}$

Ответ: $\sqrt{3a^2}$, если $a \ge 0$; $-\sqrt{3a^2}$, если $a < 0$.

2) $b\sqrt{-b}$

Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $-b \ge 0$, откуда следует, что $b \le 0$.

Поскольку множитель $b$ неположительный, при внесении его под знак корня, перед корнем ставится знак «минус», а под корень вносится квадрат множителя:

$b\sqrt{-b} = -\sqrt{b^2 \cdot (-b)} = -\sqrt{-b^3}$

Ответ: $-\sqrt{-b^3}$.

3) $c\sqrt{c^5}$

Выражение имеет смысл при $c^5 \ge 0$, что выполняется, если $c \ge 0$.

Так как множитель $c$ неотрицательный, вносим его под корень, возводя в квадрат:

$c\sqrt{c^5} = \sqrt{c^2 \cdot c^5} = \sqrt{c^{2+5}} = \sqrt{c^7}$

Ответ: $\sqrt{c^7}$.

4) $m\sqrt{n}$, если $m \ge 0$

По условию множитель $m$ неотрицательный. Также для существования корня необходимо, чтобы $n \ge 0$.

Вносим неотрицательный множитель $m$ под корень, возводя его в квадрат:

$m\sqrt{n} = \sqrt{m^2 \cdot n} = \sqrt{m^2n}$

Ответ: $\sqrt{m^2n}$.

5) $xy^2\sqrt{xy}$, если $x \le 0$

Подкоренное выражение $xy$ должно быть неотрицательно: $xy \ge 0$. Так как по условию $x \le 0$, это возможно только если $y \le 0$ (или в случае $x=0$, когда $y$ любое число).

Определим знак множителя $xy^2$. Так как $x \le 0$ и $y^2 \ge 0$, то их произведение $xy^2 \le 0$.

Поскольку множитель $xy^2$ неположительный, при внесении его под корень ставим знак «минус»:

$xy^2\sqrt{xy} = -\sqrt{(xy^2)^2 \cdot (xy)} = -\sqrt{(x^2y^4) \cdot (xy)} = -\sqrt{x^3y^5}$

Ответ: $-\sqrt{x^3y^5}$.

6) $2p\sqrt{\frac{p}{2}}$

Выражение имеет смысл при $\frac{p}{2} \ge 0$, то есть $p \ge 0$.

При $p \ge 0$ множитель $2p$ также неотрицателен. Вносим его под корень, возводя в квадрат:

$2p\sqrt{\frac{p}{2}} = \sqrt{(2p)^2 \cdot \frac{p}{2}} = \sqrt{4p^2 \cdot \frac{p}{2}} = \sqrt{\frac{4p^3}{2}} = \sqrt{2p^3}$

Ответ: $\sqrt{2p^3}$.

7) $2p\sqrt{-\frac{p}{2}}$

Выражение имеет смысл при $-\frac{p}{2} \ge 0$, то есть $p \le 0$.

При $p \le 0$ множитель $2p$ неположителен. При внесении его под корень ставим знак «минус»:

$2p\sqrt{-\frac{p}{2}} = -\sqrt{(2p)^2 \cdot \left(-\frac{p}{2}\right)} = -\sqrt{4p^2 \cdot \left(-\frac{p}{2}\right)} = -\sqrt{-\frac{4p^3}{2}} = -\sqrt{-2p^3}$

Ответ: $-\sqrt{-2p^3}$.

8) $ab^2\sqrt{\frac{a}{b}}$, если $a \ge 0$

По условию $a \ge 0$. Подкоренное выражение $\frac{a}{b}$ должно быть неотрицательно, а знаменатель не должен быть равен нулю. Из этих условий следует, что $b > 0$.

Определим знак множителя $ab^2$. При $a \ge 0$ и $b > 0$, множитель $ab^2$ неотрицателен.

Вносим неотрицательный множитель под корень, возведя его в квадрат:

$ab^2\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{(ab^2)^2 \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt{(a^2b^4) \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a^3b^4}{b}} = \sqrt{a^3b^3} = \sqrt{(ab)^3}$

Ответ: $\sqrt{(ab)^3}$.

566. Внесите множитель под знак корня:

1) $m\sqrt{7}$, если $m \ge 0$;

2) $3n\sqrt{6}$, если $n \le 0$;

3) $p\sqrt{p^3}$;

4) $x^4y\sqrt{x^5y}$, если $y \le 0$;

5) $7a\sqrt{\frac{3}{a}}$;

6) $5ab\sqrt{-\frac{a^7}{5b}}$, если $a \le 0, b > 0$.

1) Внести множитель $m$ под знак корня в выражении $m\sqrt{7}$, если $m \ge 0$.

Поскольку по условию $m \ge 0$, мы можем внести множитель $m$ под знак корня, возведя его в квадрат. Для неотрицательного множителя $c$ и неотрицательного подкоренного выражения $d$ справедливо равенство $c\sqrt{d} = \sqrt{c^2d}$.

В данном случае $c=m$ и $d=7$.

$m\sqrt{7} = \sqrt{m^2 \cdot 7} = \sqrt{7m^2}$

Ответ: $\sqrt{7m^2}$

2) Внести множитель $3n$ под знак корня в выражении $3n\sqrt{6}$, если $n \le 0$.

Множитель перед корнем равен $3n$. По условию $n \le 0$. Так как $3 > 0$, то произведение $3n \le 0$.

Для отрицательного или равного нулю множителя $c$ правило внесения под знак корня выглядит так: $c\sqrt{d} = -\sqrt{c^2 d}$.

Применяем это правило для $c = 3n$ и $d = 6$:

$3n\sqrt{6} = -\sqrt{(3n)^2 \cdot 6} = -\sqrt{9n^2 \cdot 6} = -\sqrt{54n^2}$

Ответ: $-\sqrt{54n^2}$

3) Внести множитель $p$ под знак корня в выражении $p\sqrt{p^3}$.

Выражение $\sqrt{p^3}$ имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $p^3 \ge 0$. Это условие выполняется при $p \ge 0$.

Поскольку $p \ge 0$, множитель $p$ является неотрицательным. Мы можем внести его под знак корня, возведя в квадрат:

$p\sqrt{p^3} = \sqrt{p^2 \cdot p^3} = \sqrt{p^{2+3}} = \sqrt{p^5}$

Ответ: $\sqrt{p^5}$

4) Внести множитель $x^4y$ под знак корня в выражении $x^4y\sqrt{x^5y}$, если $y \le 0$.

Множитель перед корнем равен $x^4y$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, а по условию $y \le 0$, то их произведение $x^4y \le 0$ (является неположительным).

Подкоренное выражение $x^5y$ должно быть неотрицательным: $x^5y \ge 0$. Учитывая, что $y \le 0$, это неравенство выполняется, только если $x^5 \le 0$ (или если $y=0$), что означает $x \le 0$.

Так как множитель $x^4y$ неположительный, применяем правило $c\sqrt{d} = -\sqrt{c^2 d}$:

$x^4y\sqrt{x^5y} = -\sqrt{(x^4y)^2 \cdot x^5y} = -\sqrt{(x^8y^2) \cdot x^5y} = -\sqrt{x^{8+5}y^{2+1}} = -\sqrt{x^{13}y^3}$

Ответ: $-\sqrt{x^{13}y^3}$

5) Внести множитель $7a$ под знак корня в выражении $7a\sqrt{\frac{3}{a}}$.

Подкоренное выражение $\frac{3}{a}$ должно быть определено и неотрицательно. Это означает, что знаменатель $a$ должен быть строго больше нуля: $a > 0$.

При условии $a > 0$, множитель $7a$ также будет положительным: $7a > 0$.

Вносим положительный множитель под знак корня, возводя его в квадрат:

$7a\sqrt{\frac{3}{a}} = \sqrt{(7a)^2 \cdot \frac{3}{a}} = \sqrt{49a^2 \cdot \frac{3}{a}} = \sqrt{\frac{49a^2 \cdot 3}{a}} = \sqrt{49a \cdot 3} = \sqrt{147a}$

Ответ: $\sqrt{147a}$

6) Внести множитель $5ab$ под знак корня в выражении $5ab\sqrt{-\frac{a^7}{5b}}$, если $a < 0, b > 0$.

Определим знак множителя $5ab$. По условию $a < 0$ и $b > 0$. Тогда произведение $5ab = 5 \cdot (\text{отрицательное}) \cdot (\text{положительное})$ является отрицательным числом, то есть $5ab < 0$.

Проверим, что подкоренное выражение $-\frac{a^7}{5b}$ неотрицательно. Так как $a < 0$, то $a^7 < 0$ (нечетная степень отрицательного числа), и соответственно $-a^7 > 0$. Знаменатель $5b > 0$, так как $b > 0$. Следовательно, вся дробь $-\frac{a^7}{5b} > 0$. Выражение имеет смысл.

Так как множитель $5ab$ отрицательный, вносим его под корень по правилу $c\sqrt{d} = -\sqrt{c^2d}$:

$5ab\sqrt{-\frac{a^7}{5b}} = -\sqrt{(5ab)^2 \cdot \left(-\frac{a^7}{5b}\right)} = -\sqrt{25a^2b^2 \cdot \left(-\frac{a^7}{5b}\right)}$

Упростим выражение под корнем:

$-\sqrt{-\frac{25a^2b^2a^7}{5b}} = -\sqrt{-5a^{2+7}b^{2-1}} = -\sqrt{-5a^9b}$

Ответ: $-\sqrt{-5a^9b}$

567. Докажите тождество:

1) $ \left( \frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a}+7} - \frac{15\sqrt{a}}{a+14\sqrt{a}+49} \right) : \frac{8\sqrt{a}+41}{a-49} + \frac{7\sqrt{a}-49}{\sqrt{a}+7} = \sqrt{a}-7; $

2) $ \frac{a\sqrt{a}+27}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \left( \frac{\sqrt{a}-3}{a-3\sqrt{a}+9} - \frac{\sqrt{ab}-9}{a\sqrt{a}+27} \right) = \sqrt{a}. $

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$: $a \ge 0$ и $a \neq 49$.

1. Сначала упростим выражение в скобках: $\frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a}+7} - \frac{15\sqrt{a}}{a+14\sqrt{a}+49}$.

Знаменатель второй дроби $a+14\sqrt{a}+49$ представляет собой полный квадрат: $(\sqrt{a}+7)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{a}+7)^2$:

$\frac{8\sqrt{a}(\sqrt{a}+7)}{(\sqrt{a}+7)^2} - \frac{15\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+7)^2} = \frac{8a+56\sqrt{a}-15\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+7)^2} = \frac{8a+41\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+7)^2} = \frac{\sqrt{a}(8\sqrt{a}+41)}{(\sqrt{a}+7)^2}$.

2. Теперь выполним деление. Для этого умножим результат первого действия на дробь, обратную делителю $\frac{8\sqrt{a}+41}{a-49}$. Предварительно разложим знаменатель $a-49$ по формуле разности квадратов: $a-49=(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)$.

$\frac{\sqrt{a}(8\sqrt{a}+41)}{(\sqrt{a}+7)^2} \cdot \frac{(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)}{8\sqrt{a}+41}$.

Сокращаем общие множители $(8\sqrt{a}+41)$ и $(\sqrt{a}+7)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-7)}{\sqrt{a}+7}$.

3. Выполним сложение с последним слагаемым исходного выражения:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-7)}{\sqrt{a}+7} + \frac{7\sqrt{a}-49}{\sqrt{a}+7}$.

Поскольку знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-7) + (7\sqrt{a}-49)}{\sqrt{a}+7} = \frac{a-7\sqrt{a}+7\sqrt{a}-49}{\sqrt{a}+7} = \frac{a-49}{\sqrt{a}+7}$.

4. Вновь применим формулу разности квадратов к числителю:

$\frac{(\sqrt{a}-7)(\sqrt{a}+7)}{\sqrt{a}+7} = \sqrt{a}-7$.

В результате упрощения левой части мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. ОДЗ: $a \ge 0, b \ge 0, a \neq b$.

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{\sqrt{a}-3}{a-3\sqrt{a}+9} - \frac{\sqrt{ab}-9}{a\sqrt{a}+27}$.

Знаменатель второй дроби $a\sqrt{a}+27$ можно разложить по формуле суммы кубов: $(\sqrt{a})^3+3^3 = (\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)$. Приведем дроби к этому общему знаменателю:

$\frac{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)} - \frac{\sqrt{ab}-9}{(\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)}$.

Объединим дроби и упростим числитель, используя формулу разности квадратов для $(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)=a-9$:

$\frac{(a-9) - (\sqrt{ab}-9)}{(\sqrt{a}+3)(a-3\sqrt{a}+9)} = \frac{a-9-\sqrt{ab}+9}{a\sqrt{a}+27} = \frac{a-\sqrt{ab}}{a\sqrt{a}+27}$.

Вынесем в числителе общий множитель $\sqrt{a}$:

$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a\sqrt{a}+27}$.

2. Теперь выполним умножение первого множителя на результат, полученный в скобках:

$\frac{a\sqrt{a}+27}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a\sqrt{a}+27}$.

Сокращаем одинаковые множители $(a\sqrt{a}+27)$ и $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{a\sqrt{a}+27}}{\cancel{\sqrt{a}-\sqrt{b}}} \cdot \frac{\sqrt{a}(\cancel{\sqrt{a}-\sqrt{b}})}{\cancel{a\sqrt{a}+27}} = \sqrt{a}$.

В результате упрощения левой части мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

568. Упростите выражение:

1) $ \left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}} - \frac{1}{a-b} \cdot \frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right) : \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}}; $

2) $ \left(\sqrt{a}+\sqrt{b} - \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right) : \left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\right). $

1)
Исходное выражение: $ \left( \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}} - \frac{1}{a-b} \cdot \frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \right) : \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}} $

Решение будем выполнять по действиям.

1. Упростим первый член в скобках, разложив знаменатель на множители:
$ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{a}+\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $

2. Упростим второй член в скобках. Используем формулу разности квадратов $ a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $ и тождество $ (\sqrt{b}-\sqrt{a})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 $:
$ \frac{1}{a-b} \cdot \frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{1}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} \cdot \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $
Сократим дробь на $ (\sqrt{a}-\sqrt{b}) $:
$ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} $

3. Выполним вычитание в скобках:
$ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ \sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 $:
$ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \frac{(a-b) - (a-\sqrt{ab})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \frac{a-b-a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{ab}-b}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} $
Вынесем $ \sqrt{b} $ в числителе:
$ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} $

4. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Делитель мы уже упростили в первом шаге.
$ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} : \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $
Сокращаем общие множители $ \sqrt{a} $, $ (\sqrt{a}-\sqrt{b}) $ и $ (\sqrt{a}+\sqrt{b}) $:
$ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $

2)
Исходное выражение: $ \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} - \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \right) : \left( \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right) $

Решение будем выполнять по действиям.

1. Упростим выражение в первых скобках, приведя его к общему знаменателю $ \sqrt{a}+\sqrt{b} $:
$ \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $
Раскроем квадрат суммы в числителе:
$ \frac{a+2\sqrt{ab}+b-2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $

2. Упростим выражение во вторых скобках, приведя его к общему знаменателю $ \sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $:
$ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} + \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) + \sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{a-\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{a+b}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $

3. Выполним деление результатов, полученных в пунктах 1 и 2:
$ \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} : \frac{a+b}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a+b} $
Сократим общие множители $ (a+b) $ и $ (\sqrt{a}+\sqrt{b}) $:
$ \sqrt{a} $

Ответ: $ \sqrt{a} $