Страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

524. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{8}$;

2) $\sqrt{12}$;

3) $\sqrt{32}$;

4) $\sqrt{54}$;

5) $\sqrt{490}$;

6) $\sqrt{500}$;

7) $\sqrt{275}$;

8) $\sqrt{108}$;

9) $\sqrt{0,72}$;

10) $\sqrt{0,48}$;

11) $\sqrt{450}$;

12) $\sqrt{36300}$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня, представим подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей является наибольшим возможным полным квадратом. Для числа 8 таким множителем является 4.$ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} $.Ответ: $2\sqrt{2}$.

2) Представим число 12 в виде произведения $4 \cdot 3$.$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $.Ответ: $2\sqrt{3}$.

3) Представим число 32 в виде произведения $16 \cdot 2$, где 16 — это наибольший квадрат, делящий 32.$ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} $.Ответ: $4\sqrt{2}$.

4) Разложим число 54 на множители $9$ и $6$.$ \sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6} $.Ответ: $3\sqrt{6}$.

5) Представим число 490 в виде произведения $49 \cdot 10$.$ \sqrt{490} = \sqrt{49 \cdot 10} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{10} = 7\sqrt{10} $.Ответ: $7\sqrt{10}$.

6) Представим число 500 в виде произведения $100 \cdot 5$.$ \sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{5} = 10\sqrt{5} $.Ответ: $10\sqrt{5}$.

7) Разложим число 275 на множители $25$ и $11$.$ \sqrt{275} = \sqrt{25 \cdot 11} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{11} = 5\sqrt{11} $.Ответ: $5\sqrt{11}$.

8) Разложим число 108 на множители $36$ и $3$.$ \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} $.Ответ: $6\sqrt{3}$.

9) Представим десятичную дробь в виде обыкновенной и упростим.$ \sqrt{0,72} = \sqrt{\frac{72}{100}} = \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{36 \cdot 2}}{10} = \frac{\sqrt{36}\sqrt{2}}{10} = \frac{6\sqrt{2}}{10} = 0,6\sqrt{2} $.Ответ: $0,6\sqrt{2}$.

10) Представим десятичную дробь в виде обыкновенной и упростим.$ \sqrt{0,48} = \sqrt{\frac{48}{100}} = \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{10} = \frac{\sqrt{16}\sqrt{3}}{10} = \frac{4\sqrt{3}}{10} = 0,4\sqrt{3} $.Ответ: $0,4\sqrt{3}$.

11) Разложим число 450 на множители, выделив полный квадрат. $450 = 225 \cdot 2$.$ \sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = \sqrt{225} \cdot \sqrt{2} = 15\sqrt{2} $.Ответ: $15\sqrt{2}$.

12) Разложим число 36300 на множители. $36300 = 363 \cdot 100 = 121 \cdot 3 \cdot 100$.$ \sqrt{36300} = \sqrt{121 \cdot 3 \cdot 100} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{3} = 11 \cdot 10 \cdot \sqrt{3} = 110\sqrt{3} $.Ответ: $110\sqrt{3}$.

525. Упростите выражение:

1) $\frac{2}{3}\sqrt{45};$

2) $\frac{1}{2}\sqrt{128};$

3) $\frac{1}{10}\sqrt{200};$

4) $-0,05\sqrt{4400}.$

1) Чтобы упростить выражение $\frac{2}{3}\sqrt{45}$, необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого представим число 45 в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом. Число 45 можно разложить как $9 \times 5$. Так как $9 = 3^2$, то 9 является полным квадратом.
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{2}{3}\sqrt{45} = \frac{2}{3} \times 3\sqrt{5}$.
Умножим коэффициент $\frac{2}{3}$ на вынесенный множитель 3:
$\frac{2}{3} \times 3 = 2$.
Таким образом, итоговое выражение равно $2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$.

2) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{2}\sqrt{128}$, вынесем множитель из-под знака корня. Представим число 128 в виде произведения с множителем, являющимся полным квадратом. $128 = 64 \times 2$. Число 64 является полным квадратом, так как $64 = 8^2$.
$\sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$\frac{1}{2}\sqrt{128} = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{2}$.
Умножим коэффициент $\frac{1}{2}$ на 8:
$\frac{1}{2} \times 8 = 4$.
В результате получаем $4\sqrt{2}$.
Ответ: $4\sqrt{2}$.

3) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{10}\sqrt{200}$, вынесем множитель из-под знака корня. Разложим число 200 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом. $200 = 100 \times 2$. Число 100 является полным квадратом, так как $100 = 10^2$.
$\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{1}{10}\sqrt{200} = \frac{1}{10} \times 10\sqrt{2}$.
Перемножим коэффициенты:
$\frac{1}{10} \times 10 = 1$.
Итоговое выражение: $1 \times \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

4) Чтобы упростить выражение $-0,05\sqrt{4400}$, вынесем множитель из-под знака корня. Разложим число 4400 на множители. $4400 = 44 \times 100 = 4 \times 11 \times 100$. Мы можем сгруппировать полные квадраты: $4 \times 100 = 400$. Таким образом, $4400 = 400 \times 11$. Число 400 — это полный квадрат, так как $400 = 20^2$.
$\sqrt{4400} = \sqrt{400 \times 11} = \sqrt{400} \times \sqrt{11} = 20\sqrt{11}$.
Подставим это в исходное выражение:
$-0,05\sqrt{4400} = -0,05 \times 20\sqrt{11}$.
Умножим коэффициенты:
$-0,05 \times 20 = -\frac{5}{100} \times 20 = -\frac{100}{100} = -1$.
В результате получаем $-1 \times \sqrt{11} = -\sqrt{11}$.
Ответ: $-\sqrt{11}$.

526. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{27}$;

2) $\sqrt{24}$;

3) $\sqrt{20}$;

4) $\sqrt{125}$;

5) $\frac{1}{8}\sqrt{96}$;

6) $0,4\sqrt{250}$;

7) $-2\sqrt{0,18}$;

8) $\frac{4}{9}\sqrt{63}$;

9) $0,8\sqrt{1250}$;

10) $\frac{3}{7}\sqrt{98}$;

11) $10\sqrt{0,03}$;

12) $0,7\sqrt{1000}$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{27}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители таким образом, чтобы один из них был точным квадратом. Число 27 можно представить как $9 \times 3$.
Применяя свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Ответ: $3\sqrt{3}$.

2) Разложим подкоренное выражение 24 на множители, выделив полный квадрат: $24 = 4 \cdot 6$.
Тогда $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.
Ответ: $2\sqrt{6}$.

3) Разложим подкоренное выражение 20 на множители: $20 = 4 \cdot 5$.
Следовательно, $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$.

4) Разложим подкоренное выражение 125 на множители: $125 = 25 \cdot 5$.
Следовательно, $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
Ответ: $5\sqrt{5}$.

5) Сначала упростим корень $\sqrt{96}$. Разложим 96 на множители так, чтобы выделить наибольший возможный квадрат: $96 = 16 \cdot 6$.
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$.
Теперь умножим результат на коэффициент $\frac{1}{8}$:
$\frac{1}{8}\sqrt{96} = \frac{1}{8} \cdot 4\sqrt{6} = \frac{4}{8}\sqrt{6} = \frac{1}{2}\sqrt{6}$.
Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{6}$.

6) Упростим корень $\sqrt{250}$. Разложим 250 на множители: $250 = 25 \cdot 10$.
$\sqrt{250} = \sqrt{25 \cdot 10} = 5\sqrt{10}$.
Теперь умножим на коэффициент 0,4:
$0.4\sqrt{250} = 0.4 \cdot 5\sqrt{10} = 2\sqrt{10}$.
Ответ: $2\sqrt{10}$.

7) Представим подкоренное выражение 0,18 как произведение $0.09 \cdot 2$. Число 0,09 является полным квадратом ($0.3^2$).
$-2\sqrt{0.18} = -2\sqrt{0.09 \cdot 2} = -2 \cdot (\sqrt{0.09} \cdot \sqrt{2}) = -2 \cdot 0.3\sqrt{2} = -0.6\sqrt{2}$.
Ответ: $-0.6\sqrt{2}$.

8) Упростим корень $\sqrt{63}$. Разложим 63 на множители: $63 = 9 \cdot 7$.
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$.
Умножим результат на коэффициент $\frac{4}{9}$:
$\frac{4}{9}\sqrt{63} = \frac{4}{9} \cdot 3\sqrt{7} = \frac{12}{9}\sqrt{7} = \frac{4}{3}\sqrt{7}$.
Ответ: $\frac{4}{3}\sqrt{7}$.

9) Упростим корень $\sqrt{1250}$. Разложим 1250 на множители, выделив наибольший квадрат. $1250 = 625 \cdot 2$, где $625 = 25^2$.
$\sqrt{1250} = \sqrt{625 \cdot 2} = 25\sqrt{2}$.
Умножим на коэффициент 0,8:
$0.8\sqrt{1250} = 0.8 \cdot 25\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$.
Ответ: $20\sqrt{2}$.

10) Упростим корень $\sqrt{98}$. Разложим 98 на множители: $98 = 49 \cdot 2$.
$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$.
Умножим результат на коэффициент $\frac{3}{7}$:
$\frac{3}{7}\sqrt{98} = \frac{3}{7} \cdot 7\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Ответ: $3\sqrt{2}$.

11) Для упрощения выражения $10\sqrt{0.03}$ можно внести множитель 10 под знак корня. Чтобы внести положительный множитель под знак корня, его нужно возвести в квадрат:
$10\sqrt{0.03} = \sqrt{10^2 \cdot 0.03} = \sqrt{100 \cdot 0.03} = \sqrt{3}$.
Другой способ: представить 0,03 как дробь $\frac{3}{100}$.
$10\sqrt{0.03} = 10\sqrt{\frac{3}{100}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{100}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

12) Упростим корень $\sqrt{1000}$. Разложим 1000 на множители: $1000 = 100 \cdot 10$.
$\sqrt{1000} = \sqrt{100 \cdot 10} = 10\sqrt{10}$.
Умножим на коэффициент 0,7:
$0.7\sqrt{1000} = 0.7 \cdot 10\sqrt{10} = 7\sqrt{10}$.
Ответ: $7\sqrt{10}$.