Страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

498. Вычислите значение выражения:

1) $\sqrt{9 \cdot 25};$

2) $\sqrt{16 \cdot 2500};$

3) $\sqrt{0,64 \cdot 36};$

4) $\sqrt{400 \cdot 1,44};$

5) $\sqrt{0,09 \cdot 0,04};$

6) $\sqrt{6,25 \cdot 0,16};$

7) $\sqrt{6^2 \cdot 3^4};$

8) $\sqrt{7^2 \cdot 2^8};$

9) $\sqrt{25 \cdot 64 \cdot 0,36};$

10) $\sqrt{0,01 \cdot 0,81 \cdot 2500};$

11) $\sqrt{\frac{81}{100}};$

12) $\sqrt{\frac{49}{256}};$

13) $\sqrt{3\frac{13}{36}};$

14) $\sqrt{3\frac{1}{16} \cdot 2\frac{14}{25}};$

15) $\sqrt{\frac{169}{36 \cdot 81}};$

16) $\sqrt{\frac{121 \cdot 256}{25 \cdot 100}}.$

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{9 \cdot 25}$ воспользуемся свойством корня из произведения, согласно которому корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Применяя это свойство, получаем: $\sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 5 = 15$.
Ответ: 15

2) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство корня из произведения: $\sqrt{16 \cdot 2500} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2500}$. Так как $\sqrt{16}=4$ и $\sqrt{2500}=50$, то результат равен $4 \cdot 50 = 200$.
Ответ: 200

3) Применяем свойство корня из произведения для десятичной дроби и целого числа: $\sqrt{0,64 \cdot 36} = \sqrt{0,64} \cdot \sqrt{36}$. Поскольку $\sqrt{0,64}=0,8$ и $\sqrt{36}=6$, получаем: $0,8 \cdot 6 = 4,8$.
Ответ: 4,8

4) Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{400 \cdot 1,44} = \sqrt{400} \cdot \sqrt{1,44}$. Вычисляем корни: $\sqrt{400}=20$ и $\sqrt{1,44}=1,2$. Результат: $20 \cdot 1,2 = 24$.
Ответ: 24

5) Вычисляем корень из произведения двух десятичных дробей: $\sqrt{0,09 \cdot 0,04} = \sqrt{0,09} \cdot \sqrt{0,04}$. Так как $\sqrt{0,09}=0,3$ и $\sqrt{0,04}=0,2$, то $0,3 \cdot 0,2 = 0,06$.
Ответ: 0,06

6) Вычисляем корень из произведения десятичных дробей: $\sqrt{6,25 \cdot 0,16} = \sqrt{6,25} \cdot \sqrt{0,16}$. Извлекаем корни: $\sqrt{6,25}=2,5$ и $\sqrt{0,16}=0,4$. Произведение равно $2,5 \cdot 0,4 = 1$.
Ответ: 1

7) Используем свойства корня из произведения и корня из степени ($\sqrt{a^{2n}} = a^n$): $\sqrt{6^2 \cdot 3^4} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{3^4}$. Вычисляем каждый корень: $\sqrt{6^2} = 6$ и $\sqrt{3^4} = \sqrt{(3^2)^2} = 3^2 = 9$. Результат: $6 \cdot 9 = 54$.
Ответ: 54

8) Применяем те же свойства, что и в предыдущем задании: $\sqrt{7^2 \cdot 2^8} = \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{2^8}$. Вычисляем корни: $\sqrt{7^2} = 7$ и $\sqrt{2^8} = \sqrt{(2^4)^2} = 2^4 = 16$. Произведение: $7 \cdot 16 = 112$.
Ответ: 112

9) Свойство корня из произведения применимо и для трех множителей: $\sqrt{25 \cdot 64 \cdot 0,36} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{0,36}$. Вычисляем: $5 \cdot 8 \cdot 0,6 = 40 \cdot 0,6 = 24$.
Ответ: 24

10) Вычисляем корень из произведения трех множителей, один из которых - десятичная дробь: $\sqrt{0,01 \cdot 0,81 \cdot 2500} = \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{2500}$. Находим значения корней: $0,1 \cdot 0,9 \cdot 50 = 0,09 \cdot 50 = 4,5$.
Ответ: 4,5

11) Для вычисления корня из дроби используем свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (для $a \ge 0, b > 0$): $\sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}} = \frac{9}{10} = 0,9$.
Ответ: 0,9

12) Аналогично предыдущему примеру, вычисляем корень из дроби: $\sqrt{\frac{49}{256}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{256}} = \frac{7}{16}$.
Ответ: $\frac{7}{16}$

13) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{13}{36} = \frac{3 \cdot 36 + 13}{36} = \frac{108 + 13}{36} = \frac{121}{36}$. Затем извлекаем корень: $\sqrt{\frac{121}{36}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{36}} = \frac{11}{6}$. Ответ можно представить в виде смешанного числа $1\frac{5}{6}$.
Ответ: $1\frac{5}{6}$

14) Сначала преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби: $3\frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{49}{16}$ и $2\frac{14}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 14}{25} = \frac{64}{25}$. Теперь вычислим корень из их произведения: $\sqrt{\frac{49}{16} \cdot \frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{49}{16}} \cdot \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}} = \frac{7}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{7 \cdot 8}{4 \cdot 5} = \frac{56}{20} = \frac{14}{5} = 2,8$.
Ответ: 2,8

15) Используем свойство корня из частного и произведения: $\sqrt{\frac{169}{36 \cdot 81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{36 \cdot 81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{36} \cdot \sqrt{81}} = \frac{13}{6 \cdot 9} = \frac{13}{54}$.
Ответ: $\frac{13}{54}$

16) Применяем свойства корня из частного и произведения: $\sqrt{\frac{121 \cdot 256}{25 \cdot 100}} = \frac{\sqrt{121 \cdot 256}}{\sqrt{25 \cdot 100}} = \frac{\sqrt{121} \cdot \sqrt{256}}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{100}} = \frac{11 \cdot 16}{5 \cdot 10} = \frac{176}{50}$. Сократим дробь: $\frac{176}{50} = \frac{88}{25}$. Ответ можно представить в виде десятичной дроби $3,52$ или смешанного числа $3\frac{13}{25}$.
Ответ: 3,52

499. Чему равно значение выражения:

1) $\sqrt{36 \cdot 81}$;

2) $\sqrt{900 \cdot 49}$;

3) $\sqrt{16 \cdot 0,25}$;

4) $\sqrt{9 \cdot 1,69}$;

5) $\sqrt{0,36 \cdot 1,21}$;

6) $\sqrt{5^2 \cdot 3^6}$;

7) $\sqrt{4^4 \cdot 3^2}$;

8) $\sqrt{2^6 \cdot 5^2}$;

9) $\sqrt{2,25 \cdot 0,04 \cdot 1600}$;

10) $\sqrt{13\frac{4}{9}}$;

11) $\sqrt{1\frac{7}{9} \cdot \frac{4}{25}}$;

12) $\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{25}}$?

1) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{36 \cdot 81} $ воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ для неотрицательных $a$ и $b$.
$ \sqrt{36 \cdot 81} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{81} = 6 \cdot 9 = 54 $.
Ответ: 54.

2) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство корня из произведения:
$ \sqrt{900 \cdot 49} = \sqrt{900} \cdot \sqrt{49} $.
Так как $ \sqrt{900} = 30 $ и $ \sqrt{49} = 7 $, то получаем:
$ 30 \cdot 7 = 210 $.
Ответ: 210.

3) Вычислим $ \sqrt{16 \cdot 0,25} $:
$ \sqrt{16 \cdot 0,25} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{0,25} = 4 \cdot 0,5 = 2 $.
Другой способ — сначала выполнить умножение под корнем: $ 16 \cdot 0,25 = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4 $. Тогда $ \sqrt{4} = 2 $.
Ответ: 2.

4) Вычислим $ \sqrt{9 \cdot 1,69} $:
$ \sqrt{9 \cdot 1,69} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{1,69} = 3 \cdot 1,3 = 3,9 $.
Ответ: 3,9.

5) Вычислим $ \sqrt{0,36 \cdot 1,21} $:
$ \sqrt{0,36 \cdot 1,21} = \sqrt{0,36} \cdot \sqrt{1,21} = 0,6 \cdot 1,1 = 0,66 $.
Ответ: 0,66.

6) Для вычисления $ \sqrt{5^2 \cdot 3^6} $ воспользуемся свойствами $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ и $ \sqrt{x^{2n}} = x^n $.
$ \sqrt{5^2 \cdot 3^6} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{3^6} = 5^{2/2} \cdot 3^{6/2} = 5^1 \cdot 3^3 = 5 \cdot 27 = 135 $.
Ответ: 135.

7) Вычислим $ \sqrt{4^4 \cdot 3^2} $:
$ \sqrt{4^4 \cdot 3^2} = \sqrt{4^4} \cdot \sqrt{3^2} = 4^{4/2} \cdot 3^{2/2} = 4^2 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48 $.
Ответ: 48.

8) Вычислим $ \sqrt{2^6 \cdot 5^2} $:
$ \sqrt{2^6 \cdot 5^2} = \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{5^2} = 2^{6/2} \cdot 5^{2/2} = 2^3 \cdot 5^1 = 8 \cdot 5 = 40 $.
Ответ: 40.

9) Вычислим $ \sqrt{2,25 \cdot 0,04 \cdot 1600} $:
$ \sqrt{2,25 \cdot 0,04 \cdot 1600} = \sqrt{2,25} \cdot \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{1600} $.
$ \sqrt{2,25} = 1,5 $
$ \sqrt{0,04} = 0,2 $
$ \sqrt{1600} = 40 $
$ 1,5 \cdot 0,2 \cdot 40 = 0,3 \cdot 40 = 12 $.
Ответ: 12.

10) Для вычисления $ \sqrt{13\frac{4}{9}} $ сначала переведем смешанное число в неправильную дробь.
$ 13\frac{4}{9} = \frac{13 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{117 + 4}{9} = \frac{121}{9} $.
Теперь извлечем корень, используя свойство корня из дроби $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $:
$ \sqrt{\frac{121}{9}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{9}} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} $.
Ответ: $ 3\frac{2}{3} $.

11) Вычислим $ \sqrt{1\frac{7}{9} \cdot \frac{4}{25}} $. Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь.
$ 1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9} $.
Выражение принимает вид $ \sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{4}{25}} $.
$ \sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{16}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{15} $.
Ответ: $ \frac{8}{15} $.

12) Вычислим $ \sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{25}} $.
Используем свойство корня из произведения и корня из дроби:
$ \sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{1}{16}} \cdot \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{20} $.
Ответ: $ \frac{3}{20} $.

500. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$;

2) $\sqrt{32} \cdot \sqrt{2}$;

3) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{50}$;

4) $\sqrt{0,009} \cdot \sqrt{1000}$;

5) $\sqrt{200} \cdot \sqrt{0,18}$;

6) $\sqrt{13} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{26}$;

7) $\sqrt{2,4} \cdot \sqrt{1\frac{2}{3}}$;

8) $\sqrt{\frac{2}{11}} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{11}}$;

9) $\sqrt{2^3 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^5 \cdot 3^3}$.

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$):

$\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: 6

2) Используем то же свойство корней, что и в предыдущем примере:

$\sqrt{32} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{32 \cdot 2} = \sqrt{64} = 8$.

Ответ: 8

3) Применяем свойство произведения корней, объединяя подкоренные выражения:

$\sqrt{18} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{18 \cdot 50} = \sqrt{900} = 30$.

Ответ: 30

4) Умножим подкоренные выражения:

$\sqrt{0,009} \cdot \sqrt{1000} = \sqrt{0,009 \cdot 1000} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: 3

5) Снова используем свойство произведения корней:

$\sqrt{200} \cdot \sqrt{0,18} = \sqrt{200 \cdot 0,18} = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: 6

6) Свойство произведения корней справедливо и для трех множителей $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$:

$\sqrt{13} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{26} = \sqrt{13 \cdot 2 \cdot 26} = \sqrt{26 \cdot 26} = \sqrt{26^2} = 26$.

Ответ: 26

7) Сначала преобразуем десятичную дробь и смешанное число в неправильные дроби:

$2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь перемножим корни, подставив полученные дроби:

$\sqrt{2,4} \cdot \sqrt{1\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{12}{5}} \cdot \sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2

8) Объединим все множители под одним знаком корня:

$\sqrt{\frac{2}{11}} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{11}} = \sqrt{\frac{2}{11} \cdot 8 \cdot \frac{1}{11}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 8}{11 \cdot 11}} = \sqrt{\frac{16}{121}}$.

Теперь воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{16}{121}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{121}} = \frac{4}{11}$.

Ответ: $\frac{4}{11}$

9) Перемножим подкоренные выражения, а затем воспользуемся свойствами степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и свойством корня $\sqrt{a^k} = a^{k/2}$:

$\sqrt{2^3 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^5 \cdot 3^3} = \sqrt{(2^3 \cdot 3^1) \cdot (2^5 \cdot 3^3)} = \sqrt{(2^3 \cdot 2^5) \cdot (3^1 \cdot 3^3)} = \sqrt{2^{3+5} \cdot 3^{1+3}} = \sqrt{2^8 \cdot 3^4}$.

Далее, извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{2^8 \cdot 3^4} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^4} = 2^{8/2} \cdot 3^{4/2} = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

Ответ: 144

501. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}$;

2) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{2}$;

3) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{12,1}$;

4) $\sqrt{0,5} \cdot \sqrt{50}$;

5) $\sqrt{1 \frac{3}{7}} \cdot \sqrt{2,8}$;

6) $\sqrt{5 \cdot 2^3} \cdot \sqrt{5^3 \cdot 2^3}$.

1) Для того чтобы найти значение выражения, воспользуемся свойством произведения квадратных корней, которое гласит, что произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Применим это свойство к нашему выражению:$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{27 \cdot 3} = \sqrt{81}$.
Квадратный корень из 81 равен 9.
$\sqrt{81} = 9$.
Ответ: 9

2) Аналогично первому пункту, применяем свойство произведения корней.
$\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36}$.
Квадратный корень из 36 равен 6.
$\sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6

3) Снова используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{10} \cdot \sqrt{12,1} = \sqrt{10 \cdot 12,1} = \sqrt{121}$.
Квадратный корень из 121 равен 11.
$\sqrt{121} = 11$.
Ответ: 11

4) Применяем то же свойство для данных чисел.
$\sqrt{0,5} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{0,5 \cdot 50} = \sqrt{25}$.
Квадратный корень из 25 равен 5.
$\sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

5) В данном выражении сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби.
$1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$.
$2,8 = \frac{28}{10}$.
Теперь подставим полученные дроби в исходное выражение и применим свойство произведения корней:
$\sqrt{1\frac{3}{7}} \cdot \sqrt{2,8} = \sqrt{\frac{10}{7}} \cdot \sqrt{\frac{28}{10}} = \sqrt{\frac{10}{7} \cdot \frac{28}{10}}$.
Сократим дроби под знаком корня:
$\sqrt{\frac{\cancel{10}}{7} \cdot \frac{28}{\cancel{10}}} = \sqrt{\frac{28}{7}} = \sqrt{4}$.
$\sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2

6) Используем свойство произведения корней, а затем свойства степеней.
$\sqrt{5 \cdot 2^3} \cdot \sqrt{5^3 \cdot 2^3} = \sqrt{(5 \cdot 2^3) \cdot (5^3 \cdot 2^3)}$.
Объединим подкоренное выражение и сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:
$\sqrt{5 \cdot 5^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3} = \sqrt{(5^1 \cdot 5^3) \cdot (2^3 \cdot 2^3)}$.
Применяем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\sqrt{5^{1+3} \cdot 2^{3+3}} = \sqrt{5^4 \cdot 2^6}$.
Теперь извлекаем корень, используя свойство $\sqrt{a^n} = a^{n/2}$:
$\sqrt{5^4 \cdot 2^6} = \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{2^6} = 5^{4/2} \cdot 2^{6/2} = 5^2 \cdot 2^3 = 25 \cdot 8 = 200$.
Ответ: 200

502. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}};$

2) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}};$

3) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}};$

4) $\frac{\sqrt{3,2}}{\sqrt{0,2}};$

5) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}};$

6) $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{147}};$

7) $\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}};$

8) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}}.$

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством частного квадратных корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

2) Применим то же свойство, что и в предыдущем пункте: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{98}{2}} = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: 7

3) Используем свойство частного квадратных корней.
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}} = \sqrt{\frac{3}{48}}$. Сократим дробь под знаком корня: $\frac{3}{48} = \frac{1}{16}$.
В результате получаем: $\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

4) Применим свойство частного квадратных корней.
$\frac{\sqrt{3,2}}{\sqrt{0,2}} = \sqrt{\frac{3,2}{0,2}}$. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 10: $\sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4

5) Используем свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}} = \sqrt{\frac{72}{50}}$. Сократим подкоренное выражение на 2: $\frac{72}{50} = \frac{36}{25}$.
Получаем: $\sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5}$.
Ответ: $\frac{6}{5}$

6) Снова применяем свойство частного квадратных корней.
$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{147}} = \sqrt{\frac{27}{147}}$. Сократим дробь под корнем. Числитель и знаменатель делятся на 3: $27 = 3 \cdot 9$ и $147 = 3 \cdot 49$.
$\sqrt{\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 49}} = \sqrt{\frac{9}{49}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{49}} = \frac{3}{7}$.
Ответ: $\frac{3}{7}$

7) Воспользуемся свойствами умножения и деления корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6 \cdot 3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3

8) Применим те же свойства, что и в пункте 7.
Сначала упростим знаменатель: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 15} = \sqrt{45}$.
Выражение примет вид: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{45}} = \sqrt{\frac{5}{45}}$.
Сократим дробь под корнем на 5: $\frac{5}{45} = \frac{1}{9}$.
Получаем: $\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$