Номер 499, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 499, страница 130.

Условие.

499. Чему равно значение выражения:

1) $\sqrt{36 \cdot 81}$;

2) $\sqrt{900 \cdot 49}$;

3) $\sqrt{16 \cdot 0,25}$;

4) $\sqrt{9 \cdot 1,69}$;

5) $\sqrt{0,36 \cdot 1,21}$;

6) $\sqrt{5^2 \cdot 3^6}$;

7) $\sqrt{4^4 \cdot 3^2}$;

8) $\sqrt{2^6 \cdot 5^2}$;

9) $\sqrt{2,25 \cdot 0,04 \cdot 1600}$;

10) $\sqrt{13\frac{4}{9}}$;

11) $\sqrt{1\frac{7}{9} \cdot \frac{4}{25}}$;

12) $\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{25}}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{36 \cdot 81} $ воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ для неотрицательных $a$ и $b$.
$ \sqrt{36 \cdot 81} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{81} = 6 \cdot 9 = 54 $.
Ответ: 54.

2) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство корня из произведения:
$ \sqrt{900 \cdot 49} = \sqrt{900} \cdot \sqrt{49} $.
Так как $ \sqrt{900} = 30 $ и $ \sqrt{49} = 7 $, то получаем:
$ 30 \cdot 7 = 210 $.
Ответ: 210.

3) Вычислим $ \sqrt{16 \cdot 0,25} $:
$ \sqrt{16 \cdot 0,25} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{0,25} = 4 \cdot 0,5 = 2 $.
Другой способ — сначала выполнить умножение под корнем: $ 16 \cdot 0,25 = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4 $. Тогда $ \sqrt{4} = 2 $.
Ответ: 2.

4) Вычислим $ \sqrt{9 \cdot 1,69} $:
$ \sqrt{9 \cdot 1,69} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{1,69} = 3 \cdot 1,3 = 3,9 $.
Ответ: 3,9.

5) Вычислим $ \sqrt{0,36 \cdot 1,21} $:
$ \sqrt{0,36 \cdot 1,21} = \sqrt{0,36} \cdot \sqrt{1,21} = 0,6 \cdot 1,1 = 0,66 $.
Ответ: 0,66.

6) Для вычисления $ \sqrt{5^2 \cdot 3^6} $ воспользуемся свойствами $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ и $ \sqrt{x^{2n}} = x^n $.
$ \sqrt{5^2 \cdot 3^6} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{3^6} = 5^{2/2} \cdot 3^{6/2} = 5^1 \cdot 3^3 = 5 \cdot 27 = 135 $.
Ответ: 135.

7) Вычислим $ \sqrt{4^4 \cdot 3^2} $:
$ \sqrt{4^4 \cdot 3^2} = \sqrt{4^4} \cdot \sqrt{3^2} = 4^{4/2} \cdot 3^{2/2} = 4^2 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48 $.
Ответ: 48.

8) Вычислим $ \sqrt{2^6 \cdot 5^2} $:
$ \sqrt{2^6 \cdot 5^2} = \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{5^2} = 2^{6/2} \cdot 5^{2/2} = 2^3 \cdot 5^1 = 8 \cdot 5 = 40 $.
Ответ: 40.

9) Вычислим $ \sqrt{2,25 \cdot 0,04 \cdot 1600} $:
$ \sqrt{2,25 \cdot 0,04 \cdot 1600} = \sqrt{2,25} \cdot \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{1600} $.
$ \sqrt{2,25} = 1,5 $
$ \sqrt{0,04} = 0,2 $
$ \sqrt{1600} = 40 $
$ 1,5 \cdot 0,2 \cdot 40 = 0,3 \cdot 40 = 12 $.
Ответ: 12.

10) Для вычисления $ \sqrt{13\frac{4}{9}} $ сначала переведем смешанное число в неправильную дробь.
$ 13\frac{4}{9} = \frac{13 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{117 + 4}{9} = \frac{121}{9} $.
Теперь извлечем корень, используя свойство корня из дроби $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $:
$ \sqrt{\frac{121}{9}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{9}} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} $.
Ответ: $ 3\frac{2}{3} $.

11) Вычислим $ \sqrt{1\frac{7}{9} \cdot \frac{4}{25}} $. Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь.
$ 1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9} $.
Выражение принимает вид $ \sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{4}{25}} $.
$ \sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{16}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{15} $.
Ответ: $ \frac{8}{15} $.

12) Вычислим $ \sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{25}} $.
Используем свойство корня из произведения и корня из дроби:
$ \sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{1}{16}} \cdot \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{20} $.
Ответ: $ \frac{3}{20} $.