Номер 3, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вопросы. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 3, страница 129.
№3 (с. 129)
Условие. №3 (с. 129)
скриншот условия

3. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из произведения.
Решение 2. №3 (с. 129)

Решение 8. №3 (с. 129)
3. Теорема об арифметическом квадратном корне из произведения формулируется следующим образом:
Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению арифметических квадратных корней из этих множителей.
В виде формулы для двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ (то есть при $a \ge 0$ и $b \ge 0$) это выглядит так:
$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
Теорема также верна для произведения трех и более неотрицательных множителей:
$\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$ (при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$)
Доказательство теоремы:
Чтобы доказать равенство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при $a \ge 0$ и $b \ge 0$, нужно показать, что выражение в правой части, то есть $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, удовлетворяет двум условиям определения арифметического квадратного корня:
- Оно неотрицательно.
- Его квадрат равен подкоренному выражению $a \cdot b$.
Проверим оба условия:
1. Неотрицательность. По условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$. По определению арифметического корня, $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел всегда неотрицательно, поэтому $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \ge 0$. Первое условие выполняется.
2. Возведение в квадрат. Возведем выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ в квадрат, используя свойство степени произведения: $(xy)^n = x^n y^n$.
$(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2$
По определению квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$. Следовательно:
$(\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b$
Второе условие также выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ является арифметическим квадратным корнем из $a \cdot b$. Таким образом, теорема доказана.
Примеры использования:
- $\sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} = 6 \cdot 7 = 42$
- $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ (Вынесение множителя из-под знака корня)
Ответ: Арифметический квадратный корень из произведения двух (или более) неотрицательных множителей равен произведению арифметических квадратных корней из этих множителей. В виде формулы: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для любых $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 129 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 129), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.