Номер 3, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Вопросы - номер 3, страница 129.

Условие.

3. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из произведения.

Решение 2.

Решение 8.

3. Теорема об арифметическом квадратном корне из произведения формулируется следующим образом:

Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению арифметических квадратных корней из этих множителей.

В виде формулы для двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ (то есть при $a \ge 0$ и $b \ge 0$) это выглядит так:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Теорема также верна для произведения трех и более неотрицательных множителей:

$\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$ (при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$)

Доказательство теоремы:

Чтобы доказать равенство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при $a \ge 0$ и $b \ge 0$, нужно показать, что выражение в правой части, то есть $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, удовлетворяет двум условиям определения арифметического квадратного корня:

1. Оно неотрицательно.
2. Его квадрат равен подкоренному выражению $a \cdot b$.

Проверим оба условия:

1. Неотрицательность. По условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$. По определению арифметического корня, $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел всегда неотрицательно, поэтому $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \ge 0$. Первое условие выполняется.

2. Возведение в квадрат. Возведем выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ в квадрат, используя свойство степени произведения: $(xy)^n = x^n y^n$.

$(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2$

По определению квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$. Следовательно:

$(\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b$

Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия выполнены, выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ является арифметическим квадратным корнем из $a \cdot b$. Таким образом, теорема доказана.

Примеры использования:

• $\sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} = 6 \cdot 7 = 42$
• $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ (Вынесение множителя из-под знака корня)

Ответ: Арифметический квадратный корень из произведения двух (или более) неотрицательных множителей равен произведению арифметических квадратных корней из этих множителей. В виде формулы: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для любых $a \ge 0$ и $b \ge 0$.