Номер 498, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Упражнения - номер 498, страница 130.

Условие.

498. Вычислите значение выражения:

1) $\sqrt{9 \cdot 25};$

2) $\sqrt{16 \cdot 2500};$

3) $\sqrt{0,64 \cdot 36};$

4) $\sqrt{400 \cdot 1,44};$

5) $\sqrt{0,09 \cdot 0,04};$

6) $\sqrt{6,25 \cdot 0,16};$

7) $\sqrt{6^2 \cdot 3^4};$

8) $\sqrt{7^2 \cdot 2^8};$

9) $\sqrt{25 \cdot 64 \cdot 0,36};$

10) $\sqrt{0,01 \cdot 0,81 \cdot 2500};$

11) $\sqrt{\frac{81}{100}};$

12) $\sqrt{\frac{49}{256}};$

13) $\sqrt{3\frac{13}{36}};$

14) $\sqrt{3\frac{1}{16} \cdot 2\frac{14}{25}};$

15) $\sqrt{\frac{169}{36 \cdot 81}};$

16) $\sqrt{\frac{121 \cdot 256}{25 \cdot 100}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{9 \cdot 25}$ воспользуемся свойством корня из произведения, согласно которому корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Применяя это свойство, получаем: $\sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 5 = 15$.
Ответ: 15

2) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство корня из произведения: $\sqrt{16 \cdot 2500} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2500}$. Так как $\sqrt{16}=4$ и $\sqrt{2500}=50$, то результат равен $4 \cdot 50 = 200$.
Ответ: 200

3) Применяем свойство корня из произведения для десятичной дроби и целого числа: $\sqrt{0,64 \cdot 36} = \sqrt{0,64} \cdot \sqrt{36}$. Поскольку $\sqrt{0,64}=0,8$ и $\sqrt{36}=6$, получаем: $0,8 \cdot 6 = 4,8$.
Ответ: 4,8

4) Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{400 \cdot 1,44} = \sqrt{400} \cdot \sqrt{1,44}$. Вычисляем корни: $\sqrt{400}=20$ и $\sqrt{1,44}=1,2$. Результат: $20 \cdot 1,2 = 24$.
Ответ: 24

5) Вычисляем корень из произведения двух десятичных дробей: $\sqrt{0,09 \cdot 0,04} = \sqrt{0,09} \cdot \sqrt{0,04}$. Так как $\sqrt{0,09}=0,3$ и $\sqrt{0,04}=0,2$, то $0,3 \cdot 0,2 = 0,06$.
Ответ: 0,06

6) Вычисляем корень из произведения десятичных дробей: $\sqrt{6,25 \cdot 0,16} = \sqrt{6,25} \cdot \sqrt{0,16}$. Извлекаем корни: $\sqrt{6,25}=2,5$ и $\sqrt{0,16}=0,4$. Произведение равно $2,5 \cdot 0,4 = 1$.
Ответ: 1

7) Используем свойства корня из произведения и корня из степени ($\sqrt{a^{2n}} = a^n$): $\sqrt{6^2 \cdot 3^4} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{3^4}$. Вычисляем каждый корень: $\sqrt{6^2} = 6$ и $\sqrt{3^4} = \sqrt{(3^2)^2} = 3^2 = 9$. Результат: $6 \cdot 9 = 54$.
Ответ: 54

8) Применяем те же свойства, что и в предыдущем задании: $\sqrt{7^2 \cdot 2^8} = \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{2^8}$. Вычисляем корни: $\sqrt{7^2} = 7$ и $\sqrt{2^8} = \sqrt{(2^4)^2} = 2^4 = 16$. Произведение: $7 \cdot 16 = 112$.
Ответ: 112

9) Свойство корня из произведения применимо и для трех множителей: $\sqrt{25 \cdot 64 \cdot 0,36} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{0,36}$. Вычисляем: $5 \cdot 8 \cdot 0,6 = 40 \cdot 0,6 = 24$.
Ответ: 24

10) Вычисляем корень из произведения трех множителей, один из которых - десятичная дробь: $\sqrt{0,01 \cdot 0,81 \cdot 2500} = \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{2500}$. Находим значения корней: $0,1 \cdot 0,9 \cdot 50 = 0,09 \cdot 50 = 4,5$.
Ответ: 4,5

11) Для вычисления корня из дроби используем свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (для $a \ge 0, b > 0$): $\sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}} = \frac{9}{10} = 0,9$.
Ответ: 0,9

12) Аналогично предыдущему примеру, вычисляем корень из дроби: $\sqrt{\frac{49}{256}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{256}} = \frac{7}{16}$.
Ответ: $\frac{7}{16}$

13) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{13}{36} = \frac{3 \cdot 36 + 13}{36} = \frac{108 + 13}{36} = \frac{121}{36}$. Затем извлекаем корень: $\sqrt{\frac{121}{36}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{36}} = \frac{11}{6}$. Ответ можно представить в виде смешанного числа $1\frac{5}{6}$.
Ответ: $1\frac{5}{6}$

14) Сначала преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби: $3\frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{49}{16}$ и $2\frac{14}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 14}{25} = \frac{64}{25}$. Теперь вычислим корень из их произведения: $\sqrt{\frac{49}{16} \cdot \frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{49}{16}} \cdot \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}} = \frac{7}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{7 \cdot 8}{4 \cdot 5} = \frac{56}{20} = \frac{14}{5} = 2,8$.
Ответ: 2,8

15) Используем свойство корня из частного и произведения: $\sqrt{\frac{169}{36 \cdot 81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{36 \cdot 81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{36} \cdot \sqrt{81}} = \frac{13}{6 \cdot 9} = \frac{13}{54}$.
Ответ: $\frac{13}{54}$

16) Применяем свойства корня из частного и произведения: $\sqrt{\frac{121 \cdot 256}{25 \cdot 100}} = \frac{\sqrt{121 \cdot 256}}{\sqrt{25 \cdot 100}} = \frac{\sqrt{121} \cdot \sqrt{256}}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{100}} = \frac{11 \cdot 16}{5 \cdot 10} = \frac{176}{50}$. Сократим дробь: $\frac{176}{50} = \frac{88}{25}$. Ответ можно представить в виде десятичной дроби $3,52$ или смешанного числа $3\frac{13}{25}$.
Ответ: 3,52