Номер 501, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Упражнения - номер 501, страница 130.

Условие.

501. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}$;

2) $\sqrt{18} \cdot \sqrt{2}$;

3) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{12,1}$;

4) $\sqrt{0,5} \cdot \sqrt{50}$;

5) $\sqrt{1 \frac{3}{7}} \cdot \sqrt{2,8}$;

6) $\sqrt{5 \cdot 2^3} \cdot \sqrt{5^3 \cdot 2^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы найти значение выражения, воспользуемся свойством произведения квадратных корней, которое гласит, что произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Применим это свойство к нашему выражению:$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{27 \cdot 3} = \sqrt{81}$.
Квадратный корень из 81 равен 9.
$\sqrt{81} = 9$.
Ответ: 9

2) Аналогично первому пункту, применяем свойство произведения корней.
$\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36}$.
Квадратный корень из 36 равен 6.
$\sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6

3) Снова используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{10} \cdot \sqrt{12,1} = \sqrt{10 \cdot 12,1} = \sqrt{121}$.
Квадратный корень из 121 равен 11.
$\sqrt{121} = 11$.
Ответ: 11

4) Применяем то же свойство для данных чисел.
$\sqrt{0,5} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{0,5 \cdot 50} = \sqrt{25}$.
Квадратный корень из 25 равен 5.
$\sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

5) В данном выражении сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби.
$1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$.
$2,8 = \frac{28}{10}$.
Теперь подставим полученные дроби в исходное выражение и применим свойство произведения корней:
$\sqrt{1\frac{3}{7}} \cdot \sqrt{2,8} = \sqrt{\frac{10}{7}} \cdot \sqrt{\frac{28}{10}} = \sqrt{\frac{10}{7} \cdot \frac{28}{10}}$.
Сократим дроби под знаком корня:
$\sqrt{\frac{\cancel{10}}{7} \cdot \frac{28}{\cancel{10}}} = \sqrt{\frac{28}{7}} = \sqrt{4}$.
$\sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2

6) Используем свойство произведения корней, а затем свойства степеней.
$\sqrt{5 \cdot 2^3} \cdot \sqrt{5^3 \cdot 2^3} = \sqrt{(5 \cdot 2^3) \cdot (5^3 \cdot 2^3)}$.
Объединим подкоренное выражение и сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:
$\sqrt{5 \cdot 5^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3} = \sqrt{(5^1 \cdot 5^3) \cdot (2^3 \cdot 2^3)}$.
Применяем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\sqrt{5^{1+3} \cdot 2^{3+3}} = \sqrt{5^4 \cdot 2^6}$.
Теперь извлекаем корень, используя свойство $\sqrt{a^n} = a^{n/2}$:
$\sqrt{5^4 \cdot 2^6} = \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{2^6} = 5^{4/2} \cdot 2^{6/2} = 5^2 \cdot 2^3 = 25 \cdot 8 = 200$.
Ответ: 200