Номер 4, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 4, страница 129.

Условие.

4. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из дроби.

Решение 2.

Решение 8.

Теорема об арифметическом квадратном корне из дроби формулируется следующим образом:
Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой является неотрицательным числом, а знаменатель — положительным числом, равен частному от деления арифметического квадратного корня из числителя на арифметический квадратный корень из знаменателя.

Это утверждение можно записать в виде формулы. Для любого неотрицательного числа $a$ ($a \ge 0$) и любого положительного числа $b$ ($b > 0$) справедливо равенство:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Доказательство этой теоремы основывается на определении арифметического квадратного корня. Нам нужно показать, что выражение, стоящее в правой части равенства ($\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$), удовлетворяет двум условиям:
1) оно неотрицательно;
2) его квадрат равен подкоренному выражению ($\frac{a}{b}$).

Рассмотрим оба условия по порядку:
1) Так как по условию $a \ge 0$ и $b > 0$, то по определению арифметического корня $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} > 0$. Частное неотрицательного числа и положительного числа всегда неотрицательно. Таким образом, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ge 0$. Первое условие выполнено.

2) Теперь возведем правую часть в квадрат, используя свойство степени дроби: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.
$(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2}$
По определению арифметического квадратного корня, квадрат корня из числа равен самому этому числу, то есть $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$.
Следовательно, $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{a}{b}$. Второе условие также выполнено.

Поскольку оба условия определения арифметического квадратного корня выполняются, равенство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ доказано.

Ответ: Теорема об арифметическом квадратном корне из дроби: если числитель дроби $a$ неотрицателен ($a \ge 0$), а знаменатель $b$ положителен ($b > 0$), то корень из этой дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя. Формула: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.