Номер 1, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Докажите, что число $\sqrt{3}$ – иррациональное.

1.

Для доказательства иррациональности числа $\sqrt{3}$ воспользуемся методом от противного.

Предположим, что $\sqrt{3}$ — рациональное число. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), и при этом наибольший общий делитель чисел $p$ и $q$ равен 1 (они взаимно просты).

Итак, пусть $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$(\sqrt{3})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2$

$3 = \frac{p^2}{q^2}$

Умножим обе части на $q^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$3q^2 = p^2$

Из этого равенства следует, что $p^2$ делится на 3. Поскольку 3 — простое число, то если квадрат целого числа ($p^2$) делится на 3, то и само число ($p$) также должно делиться на 3. Следовательно, $p$ можно представить в виде $p = 3k$, где $k$ — некоторое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Подставим выражение для $p$ обратно в уравнение $3q^2 = p^2$:

$3q^2 = (3k)^2$

$3q^2 = 9k^2$

Разделим обе части на 3:

$q^2 = 3k^2$

Из этого нового равенства следует, что $q^2$ также делится на 3. По той же причине, что и для $p$, само число $q$ тоже должно делиться на 3.

Таким образом, мы установили, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ нашей дроби делятся на 3. Это означает, что у них есть общий делитель, равный 3. Данный вывод противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой (т.е. что $p$ и $q$ взаимно просты).

Так как наше исходное предположение о рациональности числа $\sqrt{3}$ привело к противоречию, оно является ложным. Следовательно, число $\sqrt{3}$ не может быть представлено в виде дроби и является иррациональным.

Ответ: Доказано, что число $\sqrt{3}$ является иррациональным.