Номер 1, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 1, страница 126.

Условие.

1. Докажите, что число $\sqrt{3}$ – иррациональное.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

1.

Для доказательства иррациональности числа `$\sqrt{3}$` воспользуемся методом от противного.

Предположим, что `$\sqrt{3}$` — рациональное число. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби `$\frac{p}{q}$`, где `$p$` — целое число (`$p \in \mathbb{Z}$`), а `$q$` — натуральное число (`$q \in \mathbb{N}$`), и при этом наибольший общий делитель чисел `$p$` и `$q$` равен 1 (они взаимно просты).

Итак, пусть `$\sqrt{3} = \frac{p}{q}$`.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

`$(\sqrt{3})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2$`

`$3 = \frac{p^2}{q^2}$`

Умножим обе части на `$q^2$`, чтобы избавиться от знаменателя:

`$3q^2 = p^2$`

Из этого равенства следует, что `$p^2$` делится на 3. Поскольку 3 — простое число, то если квадрат целого числа (`$p^2$`) делится на 3, то и само число (`$p$`) также должно делиться на 3. Следовательно, `$p$` можно представить в виде `$p = 3k$`, где `$k$` — некоторое целое число (`$k \in \mathbb{Z}$`).

Подставим выражение для `$p$` обратно в уравнение `$3q^2 = p^2$`:

`$3q^2 = (3k)^2$`

`$3q^2 = 9k^2$`

Разделим обе части на 3:

`$q^2 = 3k^2$`

Из этого нового равенства следует, что `$q^2$` также делится на 3. По той же причине, что и для `$p$`, само число `$q$` тоже должно делиться на 3.

Таким образом, мы установили, что и числитель `$p$`, и знаменатель `$q$` нашей дроби делятся на 3. Это означает, что у них есть общий делитель, равный 3. Данный вывод противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь `$\frac{p}{q}$` является несократимой (т.е. что `$p$` и `$q$` взаимно просты).

Так как наше исходное предположение о рациональности числа `$\sqrt{3}$` привело к противоречию, оно является ложным. Следовательно, число `$\sqrt{3}$` не может быть представлено в виде дроби и является иррациональным.

Ответ: Доказано, что число `$\sqrt{3}$` является иррациональным.