Номер 491, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 491, страница 123.

Условие.

491. Для каких чисел выполняется равенство:

1) $|a| = a$;

2) $|a| = -a$;

3) $|a| = |-a|$;

4) $|a| = -|a|$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данных задач воспользуемся определением модуля (абсолютной величины) числа. Модуль числа $a$, обозначаемый как $|a|$, определяется следующим образом:

• $|a| = a$, если $a \ge 0$ (модуль неотрицательного числа равен самому числу).
• $|a| = -a$, если $a < 0$ (модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу).

Из определения следует, что модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|a| \ge 0$ для любого числа $a$.

1) $|a| = a$

Это равенство является частью определения модуля. Оно выполняется для всех неотрицательных чисел. Если $a$ — положительное число или ноль, то его модуль равен самому числу. Например, $|5| = 5$, $|0| = 0$. Если же взять отрицательное число, например $a = -3$, то $|-3| = 3$, что не равно $-3$. Следовательно, равенство выполняется при $a \ge 0$.

Ответ: для всех неотрицательных чисел $a$, то есть при $a \ge 0$.

2) $|a| = -a$

Это равенство также является частью определения модуля и выполняется для всех отрицательных чисел. Проверим также случай, когда $a=0$. Если $a=0$, то $|0| = 0$ и $-a = -0 = 0$. Равенство $0=0$ верно. Значит, оно выполняется для всех отрицательных чисел и для нуля. Например, если $a=-7$, то $|-7| = 7$ и $-a = -(-7) = 7$. Равенство верно. Если же взять положительное число, например $a=4$, то $|4| = 4$, а $-a = -4$. Равенство $4 = -4$ неверно. Следовательно, равенство выполняется при $a \le 0$.

Ответ: для всех неположительных чисел $a$, то есть при $a \le 0$.

3) $|a| = |-a|$

Это равенство является свойством модуля. Модуль — это расстояние от точки, соответствующей числу на координатной прямой, до начала отсчёта. Числа $a$ и $-a$ являются противоположными и находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Поэтому их модули всегда равны. Рассмотрим два случая:
1. Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. При этом $-a \le 0$, и тогда по определению $|-a| = -(-a) = a$. Получаем $a=a$, что верно.
2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. При этом $-a > 0$, и тогда по определению $|-a| = -a$. Получаем $-a = -a$, что также верно. Равенство выполняется для любых чисел.

Ответ: для любого числа $a$.

4) $|a| = -|a|$

Мы знаем, что по определению $|a| \ge 0$ для любого числа $a$. Тогда $-|a| \le 0$. Равенство между неотрицательным числом ($|a|$) и неположительным числом ($-|a|$) возможно только в том случае, если оба этих числа равны нулю. То есть, $|a| = 0$. Модуль числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Таким образом, $a=0$. Проверим: если $a=0$, то $|0| = -|0|$, что означает $0 = -0$, или $0=0$. Это верно. Если $a \ne 0$, то $|a|$ — это положительное число, а $-|a|$ — отрицательное. Положительное число не может быть равно отрицательному.

Ответ: только для числа $a = 0$.