Номер 484, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Упражнения - номер 484, страница 123.

Условие.

484. Истинным или ложным является высказывание:

1) сумма любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;

2) произведение любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;

3) произведение любого иррационального числа и любого рационального числа является числом иррациональным?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) сумма любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;

Это высказывание является ложным. Чтобы опровергнуть общее утверждение (для любых чисел), достаточно найти хотя бы один контрпример.
Рассмотрим два иррациональных числа: $a = \sqrt{2}$ и $b = -\sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Число $-\sqrt{2}$ также иррационально (если бы оно было рациональным, то и его произведение на рациональное число $-1$, то есть $\sqrt{2}$, было бы рациональным).
Найдем их сумму:
$a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$
Число 0 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби, например, $\frac{0}{1}$.
Таким образом, мы нашли сумму двух иррациональных чисел, которая является рациональным числом, что опровергает исходное высказывание.
Другой пример: числа $5 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$ оба иррациональны, но их сумма $(5 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 7$ является рациональным числом.
Ответ: высказывание ложно.

2) произведение любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;

Это высказывание также является ложным. Приведем контрпример.
Рассмотрим иррациональное число $a = \sqrt{3}$.
Возьмем второе иррациональное число $b = \sqrt{3}$.
Найдем их произведение:
$a \cdot b = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3$
Число 3 является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{3}{1}$.
Мы нашли произведение двух иррациональных чисел, которое является рациональным числом. Следовательно, утверждение неверно.
Другой пример: $a = \sqrt{8}$ и $b = \sqrt{2}$. Оба числа иррациональны. Их произведение $a \cdot b = \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4$ является рациональным числом.
Ответ: высказывание ложно.

3) произведение любого иррационального числа и любого рационального числа является числом иррациональным?

Это высказывание также является ложным. Утверждение было бы истинным, если бы речь шла о любом ненулевом рациональном числе. Однако в вопросе говорится о любом рациональном числе, что включает и ноль.
Рассмотрим любое иррациональное число, например, $i = \pi$, и рациональное число $r = 0$.
Найдем их произведение:
$i \cdot r = \pi \cdot 0 = 0$
Результат, 0, является рациональным числом.
Поскольку мы нашли пример, где произведение иррационального и рационального чисел является рациональным, данное утверждение в общем виде ложно.
Для справки: если взять любое иррациональное число $i$ и любое ненулевое рациональное число $r = \frac{p}{q}$ (где $p, q$ - целые, $p \neq 0, q \neq 0$), то их произведение $i \cdot r$ всегда будет иррациональным. Если предположить, что $i \cdot r = s$, где $s$ - рациональное число, то $i = \frac{s}{r}$. Так как $s$ и $r$ рациональны и $r \neq 0$, то их частное $\frac{s}{r}$ также будет рациональным. Это противоречит тому, что $i$ - иррациональное число. Но из-за частного случая с нулем общее утверждение, данное в задаче, становится ложным.
Ответ: высказывание ложно.