Номер 484, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 484, страница 123.
№484 (с. 123)
Условие. №484 (с. 123)
скриншот условия

484. Истинным или ложным является высказывание:
1) сумма любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;
2) произведение любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;
3) произведение любого иррационального числа и любого рационального числа является числом иррациональным?
Решение 1. №484 (с. 123)



Решение 2. №484 (с. 123)

Решение 3. №484 (с. 123)

Решение 4. №484 (с. 123)

Решение 5. №484 (с. 123)

Решение 6. №484 (с. 123)

Решение 7. №484 (с. 123)

Решение 8. №484 (с. 123)
1) сумма любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;
Это высказывание является ложным. Чтобы опровергнуть общее утверждение (для любых чисел), достаточно найти хотя бы один контрпример.
Рассмотрим два иррациональных числа: $a = \sqrt{2}$ и $b = -\sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Число $-\sqrt{2}$ также иррационально (если бы оно было рациональным, то и его произведение на рациональное число $-1$, то есть $\sqrt{2}$, было бы рациональным).
Найдем их сумму:
$a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$
Число 0 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби, например, $\frac{0}{1}$.
Таким образом, мы нашли сумму двух иррациональных чисел, которая является рациональным числом, что опровергает исходное высказывание.
Другой пример: числа $5 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$ оба иррациональны, но их сумма $(5 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 7$ является рациональным числом.
Ответ: высказывание ложно.
2) произведение любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;
Это высказывание также является ложным. Приведем контрпример.
Рассмотрим иррациональное число $a = \sqrt{3}$.
Возьмем второе иррациональное число $b = \sqrt{3}$.
Найдем их произведение:
$a \cdot b = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3$
Число 3 является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{3}{1}$.
Мы нашли произведение двух иррациональных чисел, которое является рациональным числом. Следовательно, утверждение неверно.
Другой пример: $a = \sqrt{8}$ и $b = \sqrt{2}$. Оба числа иррациональны. Их произведение $a \cdot b = \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4$ является рациональным числом.
Ответ: высказывание ложно.
3) произведение любого иррационального числа и любого рационального числа является числом иррациональным?
Это высказывание также является ложным. Утверждение было бы истинным, если бы речь шла о любом ненулевом рациональном числе. Однако в вопросе говорится о любом рациональном числе, что включает и ноль.
Рассмотрим любое иррациональное число, например, $i = \pi$, и рациональное число $r = 0$.
Найдем их произведение:
$i \cdot r = \pi \cdot 0 = 0$
Результат, 0, является рациональным числом.
Поскольку мы нашли пример, где произведение иррационального и рационального чисел является рациональным, данное утверждение в общем виде ложно.
Для справки: если взять любое иррациональное число $i$ и любое ненулевое рациональное число $r = \frac{p}{q}$ (где $p, q$ - целые, $p \neq 0, q \neq 0$), то их произведение $i \cdot r$ всегда будет иррациональным. Если предположить, что $i \cdot r = s$, где $s$ - рациональное число, то $i = \frac{s}{r}$. Так как $s$ и $r$ рациональны и $r \neq 0$, то их частное $\frac{s}{r}$ также будет рациональным. Это противоречит тому, что $i$ - иррациональное число. Но из-за частного случая с нулем общее утверждение, данное в задаче, становится ложным.
Ответ: высказывание ложно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 484 расположенного на странице 123 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №484 (с. 123), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.