Номер 478, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 478, страница 122.

Условие.

478. Сравните числа:

1) $ \frac{43}{7} $ и 6,12;

2) $3,(24)$ и 3,24;

3) $\pi$ и $3,(14)$;

4) $-2,(36)$ и -2,36;

5) $7,(18)$ и $7,(17)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для сравнения чисел $\frac{43}{7}$ и $6,12$ представим обыкновенную дробь в виде десятичной. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$43 \div 7 = 6,1428...$

Теперь сравним полученную бесконечную периодическую дробь $6,1428...$ с конечной десятичной дробью $6,12$. Сравнение производим поразрядно, слева направо.

Целые части чисел равны: $6=6$.

Цифры в разряде десятых также равны: $1=1$.

Цифры в разряде сотых отличаются: у первого числа это $4$, у второго – $2$.

Так как $4 > 2$, то и число $6,1428...$ больше, чем $6,12$.

Следовательно, $\frac{43}{7} > 6,12$.

Ответ: $\frac{43}{7} > 6,12$.

2) Сравним числа $3,(24)$ и $3,24$.

Число $3,(24)$ – это бесконечная периодическая десятичная дробь, которую можно записать как $3,242424...$

Число $3,24$ – это конечная десятичная дробь, которую для удобства сравнения можно представить в виде бесконечной дроби с периодом ноль: $3,240000...$

Сравним числа $3,242424...$ и $3,240000...$ поразрядно.

Целые части и первые два знака после запятой (десятые и сотые) у них совпадают: $3,24 = 3,24$.

Сравним цифры в разряде тысячных: у первого числа это $2$, у второго – $0$.

Так как $2 > 0$, то $3,242424... > 3,240000...$

Следовательно, $3,(24) > 3,24$.

Ответ: $3,(24) > 3,24$.

3) Сравним число $\pi$ (пи) и $3,(14)$.

Число $\pi$ – иррациональное, его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью: $\pi \approx 3,14159265...$

Число $3,(14)$ – бесконечная периодическая десятичная дробь: $3,(14) = 3,14141414...$

Сравним эти два числа поразрядно.

Целые части и первые три знака после запятой (десятые, сотые, тысячные) у них совпадают: $3,141...$ и $3,141...$

Сравним цифры в разряде десятитысячных: у числа $\pi$ это $5$, а у числа $3,(14)$ это $4$.

Так как $5 > 4$, то $\pi > 3,(14)$.

Ответ: $\pi > 3,(14)$.

4) Сравним отрицательные числа $-2,(36)$ и $-2,36$.

Сначала сравним их модули (положительные значения): $2,(36)$ и $2,36$.

$2,(36) = 2,363636...$

$2,36 = 2,360000...$

Сравнивая поразрядно, видим, что до разряда тысячных цифры совпадают. В разряде тысячных у первого числа стоит $3$, а у второго – $0$.

Так как $3 > 0$, то $2,(36) > 2,36$.

При сравнении отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше. Поскольку $|-2,(36)| = 2,(36)$ и $|-2,36| = 2,36$, и мы установили, что $2,(36) > 2,36$, то, следовательно, $-2,(36) < -2,36$.

Ответ: $-2,(36) < -2,36$.

5) Сравним числа $7,(18)$ и $7,(17)$.

Число $7,(18)$ – это бесконечная периодическая дробь $7,181818...$

Число $7,(17)$ – это бесконечная периодическая дробь $7,171717...$

Сравним эти два числа поразрядно.

Целые части и цифры в разряде десятых у них совпадают: $7,1...$ и $7,1...$

Сравним цифры в разряде сотых: у первого числа это $8$, у второго – $7$.

Так как $8 > 7$, то $7,181818... > 7,171717...$

Следовательно, $7,(18) > 7,(17)$.

Ответ: $7,(18) > 7,(17)$.