Номер 482, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 482, страница 122.

Условие.

482. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел являются рациональными числами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — ненулевое целое число ($q \in \mathbb{Z}, q \neq 0$).

Возьмем два произвольных рациональных числа, $a = \frac{m}{n}$ и $b = \frac{p}{q}$, где $m, p \in \mathbb{Z}$, а $n, q \in \mathbb{Z}$ и $n \neq 0, q \neq 0$. Проверим для них все четыре арифметические операции.

Сумма

Найдем сумму чисел $a$ и $b$, приведя дроби к общему знаменателю $nq$:
$a + b = \frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{mq}{nq} + \frac{np}{nq} = \frac{mq + np}{nq}$
Числитель полученной дроби, $mq + np$, является целым числом, так как $m, q, n, p$ — целые числа, а сумма и произведение целых чисел всегда дают целое число. Знаменатель $nq$ является целым числом и не равен нулю, так как $n \neq 0$ и $q \neq 0$. Таким образом, сумма $a+b$ представлена в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — ненулевое целое число, что соответствует определению рационального числа.

Ответ: Сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.

Разность

Найдем разность чисел $a$ и $b$, также приведя дроби к общему знаменателю $nq$:
$a - b = \frac{m}{n} - \frac{p}{q} = \frac{mq}{nq} - \frac{np}{nq} = \frac{mq - np}{nq}$
Числитель $mq - np$ является целым числом, так как $m, q, n, p$ — целые, а разность и произведение целых чисел также являются целыми. Знаменатель $nq$ является ненулевым целым числом. Следовательно, разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

Ответ: Разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

Произведение

Найдем произведение чисел $a$ и $b$:
$a \cdot b = \frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q} = \frac{m \cdot p}{n \cdot q} = \frac{mp}{nq}$
Числитель $mp$ является целым числом (произведение двух целых). Знаменатель $nq$ является ненулевым целым числом, так как $n \neq 0$ и $q \neq 0$. Следовательно, произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

Ответ: Произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

Частное

Найдем частное от деления $a$ на $b$, при условии, что делитель $b$ не равен нулю ($b \neq 0$). Если $b = \frac{p}{q} \neq 0$, то это означает, что его числитель $p \neq 0$.
$a : b = \frac{m}{n} : \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \cdot \frac{q}{p} = \frac{mq}{np}$
Числитель $mq$ является целым числом (произведение двух целых). Знаменатель $np$ является целым числом, и он не равен нулю, так как $n \neq 0$ и $p \neq 0$. Следовательно, частное двух рациональных чисел (при ненулевом делителе) является рациональным числом.

Ответ: Частное двух рациональных чисел является рациональным числом.