Номер 486, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Упражнения - номер 486, страница 123.

Условие.

486. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a$ – чётное число, $b$ – нечётное. Значение какого из данных выражений не может быть натуральным числом:

1) $\frac{8b}{5a}$;

2) $\frac{a^2}{b^2}$;

3) $\frac{4a}{b}$;

4) $\frac{b^2}{a}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

По условию задачи даны натуральные числа `a` и `b`. Известно, что `a` — чётное число, а `b` — нечётное число. Нам нужно определить, какое из предложенных выражений не может принимать натуральные значения.

Проанализируем каждое выражение:

1) $\frac{8b}{5a}$
Чтобы это выражение было натуральным числом, числитель $8b$ должен делиться на знаменатель $5a$ нацело. Попробуем найти такие `a` и `b`, чтобы это условие выполнялось. Например, пусть значение выражения равно 1.
$\frac{8b}{5a} = 1 \implies 8b = 5a$
Мы можем подобрать подходящие числа. Пусть $a=8$ (чётное) и $b=5$ (нечётное). Эти значения удовлетворяют условиям задачи.
Подставим их в равенство: $8 \cdot 5 = 5 \cdot 8$, что является верным равенством.
Значит, при $a=8$ и $b=5$ значение выражения равно 1, а 1 — это натуральное число.
Ответ: может быть натуральным числом.

2) $\frac{a^2}{b^2}$
Проверим, может ли это выражение быть натуральным числом. Для этого нужно, чтобы $a^2$ делилось на $b^2$ нацело. Это то же самое, что и $(\frac{a}{b})^2$ является натуральным числом.
Попробуем подобрать числа. Пусть $b=3$ (нечётное). Нам нужно, чтобы `a` было чётным и делилось на 3. Возьмём $a=6$ (чётное).
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{a^2}{b^2} = \frac{6^2}{3^2} = \frac{36}{9} = 4$
Число 4 является натуральным. Значит, это выражение может быть натуральным числом.
Ответ: может быть натуральным числом.

3) $\frac{4a}{b}$
Проверим, может ли это выражение быть натуральным.
Возьмём самые простые значения: $a=2$ (чётное) и $b=1$ (нечётное).
Подставим их в выражение:
$\frac{4a}{b} = \frac{4 \cdot 2}{1} = 8$
Число 8 является натуральным. Значит, это выражение может быть натуральным числом.
Ответ: может быть натуральным числом.

4) $\frac{b^2}{a}$
Рассмотрим свойства числителя и знаменателя с точки зрения чётности.
Число `b` — нечётное. Квадрат нечётного числа ($b^2 = b \cdot b$) всегда является нечётным числом. Например, $3^2=9$, $5^2=25$.
Число `a` по условию — чётное.
Таким образом, мы делим нечётное число ($b^2$) на чётное число (`a`).
Для того чтобы результат деления был целым (и, в частности, натуральным) числом, числитель должен делиться на знаменатель без остатка. Однако нечётное число не может нацело делиться на чётное число, так как в разложении чётного числа на простые множители есть 2, а в разложении нечётного числа множителя 2 нет.
Если предположить, что $\frac{b^2}{a} = N$, где $N$ — натуральное число, то $b^2 = N \cdot a$.
В этом равенстве левая часть ($b^2$) — нечётное число, а правая часть ($N \cdot a$) — произведение натурального числа на чётное, что всегда даёт чётное число. Равенство "нечётное = чётное" невозможно.
Следовательно, это выражение ни при каких `a` и `b`, удовлетворяющих условию, не может быть натуральным числом.
Ответ: не может быть натуральным числом.