Страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

484. Истинным или ложным является высказывание:

1) сумма любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;

2) произведение любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;

3) произведение любого иррационального числа и любого рационального числа является числом иррациональным?

1) сумма любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;

Это высказывание является ложным. Чтобы опровергнуть общее утверждение (для любых чисел), достаточно найти хотя бы один контрпример.
Рассмотрим два иррациональных числа: $a = \sqrt{2}$ и $b = -\sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Число $-\sqrt{2}$ также иррационально (если бы оно было рациональным, то и его произведение на рациональное число $-1$, то есть $\sqrt{2}$, было бы рациональным).
Найдем их сумму:
$a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$
Число 0 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби, например, $\frac{0}{1}$.
Таким образом, мы нашли сумму двух иррациональных чисел, которая является рациональным числом, что опровергает исходное высказывание.
Другой пример: числа $5 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$ оба иррациональны, но их сумма $(5 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 7$ является рациональным числом.
Ответ: высказывание ложно.

2) произведение любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;

Это высказывание также является ложным. Приведем контрпример.
Рассмотрим иррациональное число $a = \sqrt{3}$.
Возьмем второе иррациональное число $b = \sqrt{3}$.
Найдем их произведение:
$a \cdot b = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3$
Число 3 является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{3}{1}$.
Мы нашли произведение двух иррациональных чисел, которое является рациональным числом. Следовательно, утверждение неверно.
Другой пример: $a = \sqrt{8}$ и $b = \sqrt{2}$. Оба числа иррациональны. Их произведение $a \cdot b = \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4$ является рациональным числом.
Ответ: высказывание ложно.

3) произведение любого иррационального числа и любого рационального числа является числом иррациональным?

Это высказывание также является ложным. Утверждение было бы истинным, если бы речь шла о любом ненулевом рациональном числе. Однако в вопросе говорится о любом рациональном числе, что включает и ноль.
Рассмотрим любое иррациональное число, например, $i = \pi$, и рациональное число $r = 0$.
Найдем их произведение:
$i \cdot r = \pi \cdot 0 = 0$
Результат, 0, является рациональным числом.
Поскольку мы нашли пример, где произведение иррационального и рационального чисел является рациональным, данное утверждение в общем виде ложно.
Для справки: если взять любое иррациональное число $i$ и любое ненулевое рациональное число $r = \frac{p}{q}$ (где $p, q$ - целые, $p \neq 0, q \neq 0$), то их произведение $i \cdot r$ всегда будет иррациональным. Если предположить, что $i \cdot r = s$, где $s$ - рациональное число, то $i = \frac{s}{r}$. Так как $s$ и $r$ рациональны и $r \neq 0$, то их частное $\frac{s}{r}$ также будет рациональным. Это противоречит тому, что $i$ - иррациональное число. Но из-за частного случая с нулем общее утверждение, данное в задаче, становится ложным.
Ответ: высказывание ложно.

485. В каждом подъезде на каждом этаже девятиэтажного дома по восемь квартир. В каком подъезде и на каком этаже находится квартира № 186?

Для того чтобы определить подъезд и этаж, на котором находится квартира № 186, выполним следующие действия.

1. Сначала найдем, сколько всего квартир в одном подъезде. Поскольку в доме 9 этажей и на каждом по 8 квартир, общее количество квартир в одном подъезде составляет:
$9 \text{ этажей} \times 8 \text{ квартир/этаж} = 72 \text{ квартиры}$.

2. Теперь определим номер подъезда. Для этого разделим номер искомой квартиры на количество квартир в одном подъезде и округлим результат до ближайшего целого числа в большую сторону:
Номер подъезда = $\lceil \frac{186}{72} \rceil = \lceil 2.58... \rceil = 3$.
Таким образом, квартира № 186 находится в 3-м подъезде.

3. Далее определим этаж. Сначала нужно узнать порядковый номер квартиры внутри своего, третьего, подъезда. Для этого вычтем из номера квартиры общее число квартир в предыдущих подъездах (их два, в каждом по 72 квартиры):
$186 - (2 \times 72) = 186 - 144 = 42$.
Таким образом, квартира № 186 является 42-й по счету в 3-м подъезде.

4. Зная порядковый номер квартиры в подъезде (42) и количество квартир на этаже (8), найдем номер этажа. Для этого разделим порядковый номер на количество квартир на этаже и также округлим результат в большую сторону:
Номер этажа = $\lceil \frac{42}{8} \rceil = \lceil 5.25 \rceil = 6$.
Следовательно, квартира находится на 6-м этаже.

Ответ: квартира № 186 находится в 3-м подъезде на 6-м этаже.

486. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a$ – чётное число, $b$ – нечётное. Значение какого из данных выражений не может быть натуральным числом:

1) $\frac{8b}{5a}$;

2) $\frac{a^2}{b^2}$;

3) $\frac{4a}{b}$;

4) $\frac{b^2}{a}$?

По условию задачи даны натуральные числа `a` и `b`. Известно, что `a` — чётное число, а `b` — нечётное число. Нам нужно определить, какое из предложенных выражений не может принимать натуральные значения.

Проанализируем каждое выражение:

1) $\frac{8b}{5a}$
Чтобы это выражение было натуральным числом, числитель $8b$ должен делиться на знаменатель $5a$ нацело. Попробуем найти такие `a` и `b`, чтобы это условие выполнялось. Например, пусть значение выражения равно 1.
$\frac{8b}{5a} = 1 \implies 8b = 5a$
Мы можем подобрать подходящие числа. Пусть $a=8$ (чётное) и $b=5$ (нечётное). Эти значения удовлетворяют условиям задачи.
Подставим их в равенство: $8 \cdot 5 = 5 \cdot 8$, что является верным равенством.
Значит, при $a=8$ и $b=5$ значение выражения равно 1, а 1 — это натуральное число.
Ответ: может быть натуральным числом.

2) $\frac{a^2}{b^2}$
Проверим, может ли это выражение быть натуральным числом. Для этого нужно, чтобы $a^2$ делилось на $b^2$ нацело. Это то же самое, что и $(\frac{a}{b})^2$ является натуральным числом.
Попробуем подобрать числа. Пусть $b=3$ (нечётное). Нам нужно, чтобы `a` было чётным и делилось на 3. Возьмём $a=6$ (чётное).
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{a^2}{b^2} = \frac{6^2}{3^2} = \frac{36}{9} = 4$
Число 4 является натуральным. Значит, это выражение может быть натуральным числом.
Ответ: может быть натуральным числом.

3) $\frac{4a}{b}$
Проверим, может ли это выражение быть натуральным.
Возьмём самые простые значения: $a=2$ (чётное) и $b=1$ (нечётное).
Подставим их в выражение:
$\frac{4a}{b} = \frac{4 \cdot 2}{1} = 8$
Число 8 является натуральным. Значит, это выражение может быть натуральным числом.
Ответ: может быть натуральным числом.

4) $\frac{b^2}{a}$
Рассмотрим свойства числителя и знаменателя с точки зрения чётности.
Число `b` — нечётное. Квадрат нечётного числа ($b^2 = b \cdot b$) всегда является нечётным числом. Например, $3^2=9$, $5^2=25$.
Число `a` по условию — чётное.
Таким образом, мы делим нечётное число ($b^2$) на чётное число (`a`).
Для того чтобы результат деления был целым (и, в частности, натуральным) числом, числитель должен делиться на знаменатель без остатка. Однако нечётное число не может нацело делиться на чётное число, так как в разложении чётного числа на простые множители есть 2, а в разложении нечётного числа множителя 2 нет.
Если предположить, что $\frac{b^2}{a} = N$, где $N$ — натуральное число, то $b^2 = N \cdot a$.
В этом равенстве левая часть ($b^2$) — нечётное число, а правая часть ($N \cdot a$) — произведение натурального числа на чётное, что всегда даёт чётное число. Равенство "нечётное = чётное" невозможно.
Следовательно, это выражение ни при каких `a` и `b`, удовлетворяющих условию, не может быть натуральным числом.
Ответ: не может быть натуральным числом.

487. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения

$ \left( \frac{3}{4 - 4a + a^2} + \frac{2}{a^2 - 4} \right) \cdot (a - 2)^2 - \frac{2a - 4}{a + 2} $

не зависит от значения $a$.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной a, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощения получится число, то утверждение будет доказано.

Исходное выражение:

$$ \left( \frac{3}{4 - 4a + a^2} + \frac{2}{a^2 - 4} \right) \cdot (a - 2)^2 - \frac{2a - 4}{a + 2} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной a. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$4 - 4a + a^2 = (a-2)^2 \neq 0 \implies a \neq 2$

$a^2 - 4 = (a-2)(a+2) \neq 0 \implies a \neq 2$ и $a \neq -2$

$a + 2 \neq 0 \implies a \neq -2$

Таким образом, выражение определено для всех a, кроме $a = 2$ и $a = -2$.

Теперь упростим выражение, выполняя действия по порядку.

1. Сложение дробей в скобках.

Сначала преобразуем знаменатели дробей, разложив их на множители, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов):

$4 - 4a + a^2 = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$

$a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$

Теперь выполним сложение:

$$ \frac{3}{(a - 2)^2} + \frac{2}{(a - 2)(a + 2)} $$

Общий знаменатель для этих дробей — $(a - 2)^2(a+2)$. Приведем дроби к общему знаменателю, домножив числитель первой дроби на $(a+2)$, а второй — на $(a-2)$:

$$ \frac{3(a+2)}{(a - 2)^2(a+2)} + \frac{2(a-2)}{(a - 2)^2(a+2)} = \frac{3(a+2) + 2(a-2)}{(a - 2)^2(a+2)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{3a + 6 + 2a - 4}{(a - 2)^2(a+2)} = \frac{5a + 2}{(a - 2)^2(a+2)} $$

2. Умножение.

Умножим полученную дробь на $(a-2)^2$:

$$ \frac{5a + 2}{(a - 2)^2(a+2)} \cdot (a-2)^2 = \frac{(5a + 2)(a-2)^2}{(a - 2)^2(a+2)} $$

Сократим дробь на $(a-2)^2$, что допустимо, так как $a \neq 2$:

$$ \frac{5a + 2}{a+2} $$

3. Вычитание.

Выполним последнее действие — вычитание дробей:

$$ \frac{5a + 2}{a+2} - \frac{2a - 4}{a + 2} $$

Так как знаменатели одинаковы, произведем вычитание числителей:

$$ \frac{(5a + 2) - (2a - 4)}{a+2} = \frac{5a + 2 - 2a + 4}{a+2} = \frac{3a + 6}{a+2} $$

Вынесем общий множитель 3 за скобки в числителе:

$$ \frac{3(a+2)}{a+2} $$

Сократим дробь на $(a+2)$, что допустимо, так как $a \neq -2$:

$$ 3 $$

В результате всех преобразований мы получили число 3. Это означает, что при всех допустимых значениях переменной a значение исходного выражения постоянно и равно 3. Следовательно, оно не зависит от значения a, что и требовалось доказать.

Ответ: В результате упрощения выражение равно 3, что является константой и не зависит от значения переменной a.

488. В ведре несколько литров воды. Если отлить половину воды, то в нём останется на 14 л воды меньше, чем помещается. Если долить 4 л, то объём воды составит $\frac{2}{3}$ того, что помещается в ведре. Сколько литров воды помещается в ведре?

Для решения задачи введём переменные. Пусть $V$ — это вместимость ведра в литрах, а $x$ — первоначальное количество воды в ведре в литрах.

Согласно первому условию, если отлить половину воды ($x/2$), то в ведре останется $x - x/2 = x/2$ литров. Это количество на 14 литров меньше, чем вместимость ведра. На основе этого составим первое уравнение:

$ \frac{x}{2} = V - 14 $

Согласно второму условию, если долить 4 литра, то объём воды станет $x + 4$. Этот объём составит $\frac{2}{3}$ от вместимости ведра. Составим второе уравнение:

$ x + 4 = \frac{2}{3}V $

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \frac{x}{2} = V - 14 \\ x + 4 = \frac{2}{3}V \end{cases} $

Выразим $x$ из первого уравнения:

$ x = 2(V - 14) $
$ x = 2V - 28 $

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:

$ (2V - 28) + 4 = \frac{2}{3}V $

Решим полученное уравнение относительно $V$:

$ 2V - 24 = \frac{2}{3}V $
$ 2V - \frac{2}{3}V = 24 $
$ \frac{6V - 2V}{3} = 24 $
$ \frac{4V}{3} = 24 $
$ 4V = 24 \cdot 3 $
$ 4V = 72 $
$ V = \frac{72}{4} $
$ V = 18 $

Таким образом, вместимость ведра составляет 18 литров.

Ответ: 18 литров.

489. Найдите значение выражения:

1) $|-3.5| - |2.6|$;

2) $|-9.6| - |-32|$.

1) $|-3,5| - |2,6|$

Модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой, поэтому он всегда неотрицателен. Модуль положительного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

Найдем значения модулей в выражении:

Модуль числа $-3,5$ равен $3,5$: $|-3,5| = 3,5$.

Модуль числа $2,6$ равен $2,6$: $|2,6| = 2,6$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычитание:

$|-3,5| - |2,6| = 3,5 - 2,6 = 0,9$

Ответ: $0,9$

2) $|-9,6| - |-32|$

Аналогично первому пункту, найдем значения модулей:

Модуль числа $-9,6$ равен $9,6$: $|-9,6| = 9,6$.

Модуль числа $-32$ равен $32$: $|-32| = 32$.

Подставим значения в выражение и выполним вычитание:

$|-9,6| - |-32| = 9,6 - 32$

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего вычесть меньшее и поставить перед результатом знак «минус»:

$9,6 - 32 = -(32 - 9,6) = -22,4$

Ответ: $-22,4$

490. Модуль какого числа равен 6?

$|x| = 6$

Модуль числа (или его абсолютная величина) — это расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (нуля). Модуль любого числа является неотрицательной величиной.

Пусть искомое число — это $x$. По условию задачи, модуль этого числа равен 6. Математически это записывается как уравнение:

$|x| = 6$

Это уравнение означает, что мы ищем числа, расстояние от которых до нуля равно 6. На координатной прямой есть две такие точки:

1. Точка, расположенная в положительной части оси. Это число 6. Действительно, $|6| = 6$.

2. Точка, расположенная в отрицательной части оси. Это число -6. Действительно, $|-6| = 6$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два числа.

Ответ: 6 и -6.

491. Для каких чисел выполняется равенство:

1) $|a| = a$;

2) $|a| = -a$;

3) $|a| = |-a|$;

4) $|a| = -|a|$?

Для решения данных задач воспользуемся определением модуля (абсолютной величины) числа. Модуль числа $a$, обозначаемый как $|a|$, определяется следующим образом:

• $|a| = a$, если $a \ge 0$ (модуль неотрицательного числа равен самому числу).
• $|a| = -a$, если $a < 0$ (модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу).

Из определения следует, что модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|a| \ge 0$ для любого числа $a$.

Это равенство является частью определения модуля. Оно выполняется для всех неотрицательных чисел. Если $a$ — положительное число или ноль, то его модуль равен самому числу. Например, $|5| = 5$, $|0| = 0$. Если же взять отрицательное число, например $a = -3$, то $|-3| = 3$, что не равно $-3$. Следовательно, равенство выполняется при $a \ge 0$.

Ответ: для всех неотрицательных чисел $a$, то есть при $a \ge 0$.

Это равенство также является частью определения модуля и выполняется для всех отрицательных чисел. Проверим также случай, когда $a=0$. Если $a=0$, то $|0| = 0$ и $-a = -0 = 0$. Равенство $0=0$ верно. Значит, оно выполняется для всех отрицательных чисел и для нуля. Например, если $a=-7$, то $|-7| = 7$ и $-a = -(-7) = 7$. Равенство верно. Если же взять положительное число, например $a=4$, то $|4| = 4$, а $-a = -4$. Равенство $4 = -4$ неверно. Следовательно, равенство выполняется при $a \le 0$.

Ответ: для всех неположительных чисел $a$, то есть при $a \le 0$.

Это равенство является свойством модуля. Модуль — это расстояние от точки, соответствующей числу на координатной прямой, до начала отсчёта. Числа $a$ и $-a$ являются противоположными и находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Поэтому их модули всегда равны. Рассмотрим два случая:
1. Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. При этом $-a \le 0$, и тогда по определению $|-a| = -(-a) = a$. Получаем $a=a$, что верно.
2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. При этом $-a > 0$, и тогда по определению $|-a| = -a$. Получаем $-a = -a$, что также верно. Равенство выполняется для любых чисел.

Ответ: для любого числа $a$.

Мы знаем, что по определению $|a| \ge 0$ для любого числа $a$. Тогда $-|a| \le 0$. Равенство между неотрицательным числом ($|a|$) и неположительным числом ($-|a|$) возможно только в том случае, если оба этих числа равны нулю. То есть, $|a| = 0$. Модуль числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Таким образом, $a=0$. Проверим: если $a=0$, то $|0| = -|0|$, что означает $0 = -0$, или $0=0$. Это верно. Если $a \ne 0$, то $|a|$ — это положительное число, а $-|a|$ — отрицательное. Положительное число не может быть равно отрицательному.

Ответ: только для числа $a = 0$.

492. Для каких чисел одновременно выполняются оба равенства $|a| = a$ и $|a| = -a$?

Для того чтобы найти числа $a$, для которых одновременно выполняются оба равенства, можно использовать два подхода.

Способ 1: Приравнивание правых частей

В обоих равенствах, $|a| = a$ и $|a| = -a$, левые части одинаковы. Следовательно, мы можем приравнять их правые части:
$a = -a$

Решим полученное уравнение. Перенесем $-a$ из правой части в левую:
$a + a = 0$
$2a = 0$

Отсюда следует, что единственным возможным решением является:
$a = 0$

Теперь необходимо выполнить проверку, подставив найденное значение в исходные равенства:
Для первого равенства: $|0| = 0$, что является верным ($0=0$).
Для второго равенства: $|0| = -0$, что также является верным ($0=0$).
Так как $a=0$ удовлетворяет обоим условиям, это и есть искомое число.

Способ 2: Анализ условий для каждого равенства

Рассмотрим каждое равенство по отдельности.
1. Равенство $|a| = a$ по определению модуля верно только для неотрицательных чисел, то есть для всех $a$, удовлетворяющих условию $a \ge 0$.
2. Равенство $|a| = -a$ по определению модуля верно только для неположительных чисел, то есть для всех $a$, удовлетворяющих условию $a \le 0$.

Поскольку оба равенства должны выполняться одновременно, нам нужно найти число $a$, которое удовлетворяет обоим условиям. Для этого решим систему неравенств:
$ \begin{cases} a \ge 0 \\ a \le 0 \end{cases} $
Единственное число, которое одновременно больше или равно нулю и меньше или равно нулю, — это ноль.

Ответ: 0.

493. Найдите значение каждого из выражений $a^2$, $(-a)^2$, $|a|^2$ при $a = -8$ и при $a = 7$. Сделайте вывод

при a = -8

Подставим значение $a = -8$ в каждое из выражений:

1. Для выражения $a^2$:
$a^2 = (-8)^2 = 64$
Ответ: 64

2. Для выражения $(-a)^2$:
$(-a)^2 = (-(-8))^2 = 8^2 = 64$
Ответ: 64

3. Для выражения $|a|^2$:
$|a|^2 = |-8|^2 = 8^2 = 64$
Ответ: 64

при a = 7

Подставим значение $a = 7$ в каждое из выражений:

1. Для выражения $a^2$:
$a^2 = 7^2 = 49$
Ответ: 49

2. Для выражения $(-a)^2$:
$(-a)^2 = (-7)^2 = 49$
Ответ: 49

3. Для выражения $|a|^2$:
$|a|^2 = |7|^2 = 7^2 = 49$
Ответ: 49

Вывод

Проанализировав результаты вычислений, мы видим, что как для отрицательного значения $a = -8$, так и для положительного $a = 7$ значения всех трех выражений $a^2$, $(-a)^2$ и $|a|^2$ совпадают. В первом случае все они равны 64, во втором — 49.
Это позволяет сделать вывод, что для любого числа a (положительного, отрицательного или нуля) выполняется тождество: $a^2 = (-a)^2 = |a|^2$. То есть квадрат числа, квадрат противоположного ему числа и квадрат его модуля всегда равны между собой.