Страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие числа образуют множество целых чисел?

1. Какие числа образуют множество целых чисел?

Множество целых чисел, обозначаемое символом $Z$ (от нем. Zahlen — «числа»), представляет собой расширение множества натуральных чисел. Оно включает в себя три категории чисел:

• Натуральные числа (или положительные целые числа). Это числа, которые используются при счете предметов: $1, 2, 3, 4, 5, ...$ и так далее до бесконечности.

• Ноль (0). Это особое число, которое не является ни положительным, ни отрицательным. Оно служит точкой отсчета на числовой оси.

• Отрицательные целые числа. Это числа, противоположные натуральным. Каждому натуральному числу $n$ соответствует противоположное ему отрицательное число $-n$. Например: $-1, -2, -3, -4, -5, ...$ и так далее до минус бесконечности.

Таким образом, множество всех целых чисел можно представить в виде последовательности:

$Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$

Главная особенность целых чисел в том, что у них отсутствует дробная часть. На числовой прямой они расположены на равном расстоянии друг от друга.

Ответ: Множество целых чисел образуют натуральные числа (1, 2, 3, ...), число ноль (0) и противоположные натуральным числам отрицательные целые числа (-1, -2, -3, ...).

2. Какой буквой обозначают множество целых чисел?

В математике для обозначения множества всех целых чисел используется заглавная латинская буква Z.

Это обозначение происходит от немецкого слова "Zahlen", что в переводе означает "числа". Традиция использования этой буквы была установлена в середине XX века.

Чтобы отличить обозначение множества от обычной переменной, используется специальное начертание, известное как "ажурный" или "блэкборд болд" (blackboard bold). В системе верстки математических формул KaTeX этот символ записывается как \mathbb{Z} и выглядит следующим образом: $ \mathbb{Z} $.

Само множество целых чисел включает в себя все натуральные числа (1, 2, 3, ...), ноль (0) и все отрицательные целые числа (-1, -2, -3, ...). Таким образом, это множество бесконечно и может быть представлено так:
$ \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} $

Ответ: Множество целых чисел обозначают буквой Z (часто в виде $ \mathbb{Z} $).

3. Какие числа образуют множество рациональных чисел?

Множество рациональных чисел, обозначаемое символом $Q$, — это совокупность всех чисел, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$.

В этой дроби должны выполняться следующие условия:

• Числитель $m$ должен быть целым числом (принадлежать множеству $Z$, то есть $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$).
• Знаменатель $n$ должен быть натуральным числом (принадлежать множеству $N$, то есть $N = \{1, 2, 3, ...\}$). Знаменатель не может быть равен нулю.

Формальное определение множества рациональных чисел выглядит так: $Q = \{ \frac{m}{n} \mid m \in Z, n \in N \}$.

Слово «рациональное» происходит от латинского ratio, что означает «отношение» или «деление», что точно отражает суть этих чисел.

Рассмотрим, какие конкретно виды чисел входят в это множество.

1. Целые числа

Любое целое число (положительное, отрицательное или ноль) является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

Примеры:
$5 = \frac{5}{1}$
$-12 = \frac{-12}{1}$
$0 = \frac{0}{1}$

2. Обыкновенные и смешанные дроби

Все числа, которые изначально записаны в виде дроби (например, $\frac{3}{4}$, $\frac{9}{5}$), по определению являются рациональными. Смешанные числа (например, $2\frac{1}{3}$) также входят в это множество, поскольку их легко перевести в неправильную дробь ($2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$).

3. Конечные десятичные дроби

Любое число с конечным количеством знаков после запятой является рациональным, так как его всегда можно представить в виде дроби, знаменатель которой — это степень числа 10 (10, 100, 1000 и т.д.).

Примеры:
$0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
$-1.6 = -\frac{16}{10} = -\frac{8}{5}$

4. Бесконечные периодические десятичные дроби

Это ключевой признак рациональных чисел. Если десятичное представление числа бесконечно, но в нём есть повторяющаяся последовательность цифр (период), то такое число является рациональным. Любое рациональное число может быть представлено либо конечной, либо периодической десятичной дробью.

Примеры:
$0.333... = 0.(3) = \frac{1}{3}$
$1.272727... = 1.(27) = \frac{126}{99} = \frac{14}{11}$
$0.58333... = 0.58(3) = \frac{7}{12}$

Числа, десятичное представление которых бесконечно и непериодично (например, $\pi \approx 3.14159...$ или $\sqrt{2} \approx 1.41421...$), называются иррациональными и не входят в множество рациональных чисел.

Ответ: Множество рациональных чисел образуют все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. К ним относятся все целые числа, обыкновенные дроби, а также конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

4. Какой буквой обозначают множество рациональных чисел?

Множество рациональных чисел в математике принято обозначать заглавной латинской буквой Q. Часто для этого используется специальный стилизованный символ $\mathbb{Q}$ (так называемый «ажурный» или blackboard bold шрифт), чтобы избежать путаницы с другими обозначениями.

Выбор буквы Q не случаен. Она происходит от немецкого слова "Quotient" или итальянского "quoziente", что в переводе означает «частное» или «отношение». Это название напрямую отражает суть рациональных чисел.

Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Формальное определение множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ выглядит следующим образом:
$\mathbb{Q} = \{ x \mid x = \frac{m}{n}, \text{где } m \in \mathbb{Z} \text{ и } n \in \mathbb{N} \}$

К рациональным числам относятся все целые числа (например, $7 = \frac{7}{1}$), все конечные десятичные дроби (например, $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$) и все бесконечные периодические десятичные дроби (например, $0,(3) = 0,333... = \frac{1}{3}$).

Ответ: Множество рациональных чисел обозначают буквой $\mathbb{Q}$.

5. В виде какого отношения можно представить каждое рациональное число?

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби. Такая дробь является отношением (результатом деления) одного числа на другое.

Формально, любое рациональное число $q$ можно представить в виде отношения: $q = \frac{m}{n}$

В этом отношении числитель $m$ является целым числом (может быть положительным, отрицательным или нулём), а знаменатель $n$ является натуральным числом (то есть целым положительным числом, не равным нулю).

На языке математики это записывается так: $m \in \mathbb{Z}$ (где $\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел) и $n \in \mathbb{N}$ (где $\mathbb{N}$ — множество всех натуральных чисел). Иногда используется эквивалентное определение, где $n$ — любое целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$).

Рассмотрим несколько примеров представления различных чисел в виде такого отношения:

Целое число: любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, $7 = \frac{7}{1}$.

Отрицательное целое число: аналогично, $-5 = \frac{-5}{1}$.

Обыкновенная дробь: число $\frac{3}{8}$ уже представлено в требуемом виде, где $m=3$ и $n=8$.

Конечная десятичная дробь: например, $0.45$ можно записать как $\frac{45}{100}$, что после сокращения даёт $\frac{9}{20}$.

Смешанное число: например, $2\frac{1}{3}$ преобразуется в неправильную дробь $\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

Периодическая десятичная дробь: например, $0.(6) = 0.666...$ равна дроби $\frac{2}{3}$.

Таким образом, все эти типы чисел являются рациональными, так как их можно представить в виде отношения целого числа к натуральному.

Ответ: Каждое рациональное число можно представить в виде отношения $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

6. Как связаны между собой рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби?

Связь между рациональными числами и бесконечными периодическими десятичными дробями является фундаментальным свойством чисел. Эта связь представляет собой полное соответствие: любое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби, и наоборот, любая бесконечная периодическая десятичная дробь является представлением некоторого рационального числа.

Рассмотрим эту связь подробнее в двух направлениях.

1. Преобразование рационального числа в десятичную дробь.
Рациональное число по определению — это число, которое можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Чтобы преобразовать такую дробь в десятичную, нужно разделить числитель $m$ на знаменатель $n$ столбиком. При делении на число $n$ возможны ровно $n$ различных остатков: $0, 1, 2, ..., n-1$. В процессе деления столбиком возникает две возможные ситуации:

• Остаток становится равным нулю. В этом случае деление заканчивается, и мы получаем конечную десятичную дробь. Например, $3/8 = 0.375$. Конечную десятичную дробь можно считать частным случаем бесконечной периодической, у которой период равен 0. То есть, $0.375 = 0.375000... = 0.375(0)$.
• Остаток никогда не становится равным нулю. Поскольку количество возможных ненулевых остатков ограничено ($n-1$ вариантов), на каком-то шаге деления один из остатков обязательно повторится. Как только остаток повторяется, последовательность цифр в частном также начинает повторяться. Так образуется бесконечная периодическая десятичная дробь. Например, при делении 1 на 3 мы получаем $0.333...$ (пишется как $0.(3)$). При делении 4 на 11 получаем $0.363636...$ (пишется как $0.(36)$).

Таким образом, любое рациональное число представляется либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью.

2. Преобразование бесконечной периодической десятичной дроби в рациональное число.
Любую бесконечную периодическую дробь можно преобразовать обратно в обыкновенную дробь $m/n$ с помощью простого алгебраического метода. Разберем на примерах.

• Чистая периодическая дробь (период начинается сразу после запятой).
  Пусть $x = 0.(18) = 0.181818...$. В периоде 2 цифры. Умножим $x$ на $10^2 = 100$:
  $100x = 18.181818...$
  Вычтем из этого уравнения исходное:
  $100x - x = 18.181818... - 0.181818...$
  $99x = 18$
  $x = 18/99 = 2/11$.
  Полученное число $2/11$ является рациональным.
• Смешанная периодическая дробь (между запятой и периодом есть цифры).
  Пусть $y = 0.2(5) = 0.2555...$. Сначала умножим число на $10$ так, чтобы "освободить" период:
  $10y = 2.555... = 2.(5)$
  Теперь применим метод для чистой периодической дроби к числу $10y$. Пусть $z = 10y$. В периоде 1 цифра, умножим на $10^1 = 10$:
  $10z = 25.555...$
  $10z - z = 25.555... - 2.555...$
  $9z = 23$
  $z = 23/9$
  Поскольку $z=10y$, то $10y = 23/9$, откуда $y = 23/90$.
  Полученное число $23/90$ является рациональным.

Этот метод применим к любой бесконечной периодической дроби, что доказывает, что все они являются рациональными числами.

Ответ: Рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби — это два разных способа представления одного и того же множества чисел. Каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби (где конечные дроби рассматриваются как дроби с периодом 0), и каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа. Иными словами, это взаимно однозначное соответствие.

7. Как называют числа, не являющиеся рациональными?

Числа, не являющиеся рациональными, называют иррациональными числами.

Чтобы дать развернутое объяснение, необходимо сначала определить, что такое рациональное число. Рациональным числом называется любое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом, а знаменатель $n$ — натуральным числом (то есть целым и положительным). Десятичное представление рационального числа всегда либо конечное (например, $0.5 = \frac{1}{2}$), либо бесконечное, но обязательно периодическое (например, $0.333... = \frac{1}{3}$).

Иррациональные числа, в отличие от рациональных, невозможно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Их ключевым свойством является то, что их десятичное представление — это всегда бесконечная непериодическая дробь. Это значит, что последовательность цифр после запятой никогда не заканчивается и не содержит повторяющегося блока (периода).

Классическими примерами иррациональных чисел являются:

1. Число $\pi$ (пи), выражающее отношение длины окружности к ее диаметру: $\pi \approx 3.14159265...$

2. Число $e$ (число Эйлера), основание натурального логарифма: $e \approx 2.71828182...$

3. Квадратные корни из натуральных чисел, не являющихся точными квадратами: $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$, $\sqrt{3} \approx 1.73205080...$, $\sqrt{5}$ и так далее.

Множество всех рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел.

Ответ: иррациональные числа.

8. Объединение каких множеств образует множество действительных чисел?

Множество действительных чисел, обозначаемое символом $\mathbb{R}$, представляет собой совокупность всех чисел, которые можно отметить на бесконечной числовой прямой. Оно формируется путем объединения двух фундаментальных и непересекающихся множеств чисел.

Множество рациональных чисел ($\mathbb{Q}$)

Это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Рациональные числа включают в себя:
• Целые числа: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... (например, $5 = \frac{5}{1}$).
• Конечные десятичные дроби: например, $0.75 = \frac{3}{4}$.
• Бесконечные периодические десятичные дроби: например, $0.(3) = 0.333... = \frac{1}{3}$.

Множество иррациональных чисел ($\mathbb{I}$)

Это действительные числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Классическими примерами иррациональных чисел являются:
• Число $\pi$ (пи), равное отношению длины окружности к её диаметру ($\pi \approx 3.14159...$).
• Число $e$ (основание натурального логарифма, число Эйлера) ($e \approx 2.71828...$).
• Квадратные корни из чисел, не являющихся полными квадратами, например, $\sqrt{2} \approx 1.41421...$ или $\sqrt{3} \approx 1.73205...$.

Объединение этих двух множеств покрывает всю числовую прямую без пробелов. Любое действительное число является либо рациональным, либо иррациональным, и не может быть одновременно и тем, и другим. Математически это выражается формулой объединения множеств:

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

где $\mathbb{R}$ — множество действительных чисел, $\mathbb{Q}$ — множество рациональных чисел, а $\mathbb{I}$ — множество иррациональных чисел.

Ответ: Множество действительных чисел является объединением множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел.

9. Какой буквой обозначают множество действительных чисел?

Множество действительных (также называемых вещественными) чисел в математике обозначают латинской буквой R. Для этого используется специальное начертание, известное как "blackboard bold" (шрифт для доски), которое в печатных и электронных текстах выглядит так: $\mathbb{R}$.

Данное обозначение является общепринятым в мировом математическом сообществе и происходит от латинского слова realis или английского real, что переводится как "действительный".

Состав множества действительных чисел

Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ представляет собой объединение двух непересекающихся подмножеств:

1. Множество рациональных чисел ($\mathbb{Q}$). Это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($\mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($\mathbb{N}$). Рациональные числа включают в себя все целые и дробные числа (как положительные, так и отрицательные, и ноль). В виде десятичной дроби они являются либо конечными, либо бесконечными периодическими. Примеры: 7, -3, 0, $\frac{1}{2}$, -4.25, 0.(3).
2. Множество иррациональных чисел. Это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Примеры: число $\pi \approx 3.14159...$, $\sqrt{2} \approx 1.41421...$, число Эйлера $e \approx 2.71828...$.

Геометрически множество действительных чисел можно представить как все точки на бесконечной числовой прямой. Каждому действительному числу соответствует единственная точка на этой прямой, и наоборот.

Связь между основными числовыми множествами выражается следующей цепочкой вложений: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Ответ: Множество действительных чисел обозначают буквой $\mathbb{R}$.

10. Как взаимосвязаны числовые множества $N, Z, Q$ и $R$?

Числовые множества N, Z, Q и R связаны между собой отношением вложенности, где каждое последующее множество включает в себя все элементы предыдущего, расширяя его. Эту иерархическую взаимосвязь можно представить в виде цепочки строгих включений: $N \subset Z \subset Q \subset R$.

N - Множество натуральных чисел

Это множество чисел, которые используются при счете предметов: $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$. Натуральные числа являются основой для построения всех остальных числовых множеств.

Z - Множество целых чисел

Это множество является расширением множества натуральных чисел. Оно включает в себя все натуральные числа, им противоположные отрицательные числа, а также ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Поскольку любое натуральное число является и целым, множество N является собственным подмножеством множества Z. Математически это записывается как $N \subset Z$.

Q - Множество рациональных чисел

Это множество расширяет множество целых чисел. Рациональными называются числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число ($m \in Z$), а знаменатель $n$ — натуральное число ($n \in N$). Это множество включает в себя все целые числа (так как любое целое число $z$ можно представить в виде дроби $\frac{z}{1}$), а также все конечные и бесконечные периодические десятичные дроби. Следовательно, множество Z является собственным подмножеством множества Q: $Z \subset Q$.

R - Множество действительных (или вещественных) чисел

Это множество является самым широким из перечисленных и расширяет множество рациональных чисел. Оно объединяет в себе все рациональные и иррациональные числа. Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$ (например, $\pi \approx 3.14159...$, $e \approx 2.71828...$, $\sqrt{2} \approx 1.41421...$). Они выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Множество R полностью заполняет числовую прямую. Таким образом, любое рациональное число является действительным, и множество Q является собственным подмножеством множества R: $Q \subset R$.

Таким образом, общая взаимосвязь представляет собой строгую иерархию вложенных множеств, которая наглядно демонстрирует, как понятие числа исторически и логически развивалось и усложнялось.

Ответ: Числовые множества N (натуральные), Z (целые), Q (рациональные) и R (действительные) связаны отношением строгого включения: $N \subset Z \subset Q \subset R$. Это означает, что любое натуральное число является целым, любое целое — рациональным, а любое рациональное — действительным, но обратное не всегда верно.

468. Какое из данных утверждений неверно:

1) $-3$ – действительное число;

2) $-3$ – рациональное число;

3) $-3$ – целое число;

4) $-3$ – натуральное число?

Для того чтобы найти неверное утверждение, необходимо последовательно проверить истинность каждого из предложенных вариантов.

1) -3 — действительное число;

Множество действительных чисел ($ \mathbb{R} $) включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Число $-3$ является целым числом, а множество целых чисел ($ \mathbb{Z} $) является подмножеством множества рациональных чисел ($ \mathbb{Q} $), которое, в свою очередь, является подмножеством множества действительных чисел. То есть, $ \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $. Следовательно, $-3$ — это действительное число. Утверждение верно.

2) -3 — рациональное число;

Рациональным числом называется любое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $ \frac{m}{n} $, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Число $-3$ можно представить в виде дроби $ \frac{-3}{1} $. Таким образом, $-3$ является рациональным числом. Утверждение верно.

3) -3 — целое число;

Множество целых чисел ($ \mathbb{Z} $) состоит из натуральных чисел, им противоположных отрицательных чисел и нуля. Число $-3$ является отрицательным целым числом и по определению принадлежит множеству целых чисел. Утверждение верно.

4) -3 — натуральное число?

Натуральные числа ($ \mathbb{N} $) — это числа, используемые для счёта предметов: $1, 2, 3, 4, ...$ . Они являются положительными целыми числами. Число $-3$ — отрицательное, поэтому оно не входит в множество натуральных чисел. Следовательно, данное утверждение неверно.

Таким образом, единственным неверным утверждением является четвертое.

Ответ: 4

469. Верно ли утверждение:

1) $1 \in N;$

2) $1 \in Z;$

3) $1 \in Q;$

4) $1 \in R;$

5) $-2,3 \in N;$

6) $-2,3 \in R;$

7) $\sqrt{7} \notin R;$

8) $\sqrt{121} \notin R;$

9) $\frac{\pi}{3} \in R?$

Для решения данной задачи необходимо определить, к каким множествам чисел принадлежат указанные значения.

• $N$ — множество натуральных чисел $\{1, 2, 3, \dots\}$.
• $Z$ — множество целых чисел $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$.
• $Q$ — множество рациональных чисел (числа, представимые в виде дроби $p/q$, где $p \in Z$, $q \in N$).
• $R$ — множество действительных чисел (включает рациональные и иррациональные числа).

Проверим каждое утверждение:

Множество натуральных чисел $N$ — это числа, используемые при счете: $1, 2, 3, \dots$. Число 1 является первым натуральным числом. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

Множество целых чисел $Z$ включает в себя все натуральные числа, им противоположные и ноль: $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$. Так как 1 является натуральным числом, оно также является и целым числом. Утверждение верно.

Ответ: верно.

Множество рациональных чисел $Q$ — это числа, которые можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Число 1 можно представить как дробь, например, $1/1$. Значит, 1 — рациональное число. Утверждение верно.

Ответ: верно.

Множество действительных (или вещественных) чисел $R$ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Поскольку 1 является рациональным числом, оно также входит в множество действительных чисел. Утверждение верно.

Ответ: верно.

Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \dots$). Число $-2,3$ является отрицательным и дробным, поэтому оно не принадлежит множеству натуральных чисел. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

Число $-2,3$ является конечной десятичной дробью. Его можно представить в виде обыкновенной дроби $-23/10$, что означает, что это рациональное число. Все рациональные числа являются действительными. Следовательно, $-2,3$ принадлежит множеству действительных чисел $R$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

Число $\sqrt{7}$ является иррациональным, так как 7 не является точным квадратом целого числа. Множество действительных чисел $R$ состоит из рациональных и иррациональных чисел. Таким образом, $\sqrt{7}$ является действительным числом, то есть $\sqrt{7} \in R$. Утверждение, что $\sqrt{7}$ не принадлежит $R$, неверно.

Ответ: неверно.

Вычислим значение корня: $\sqrt{121} = 11$. Число 11 является натуральным, целым, рациональным и, следовательно, действительным числом. Таким образом, $\sqrt{121} \in R$. Утверждение, что $\sqrt{121}$ не принадлежит множеству действительных чисел, неверно.

Ответ: неверно.

Число $\pi$ является иррациональным. При делении иррационального числа на ненулевое рациональное число (в данном случае на 3) результат также является иррациональным числом. Множество действительных чисел $R$ включает в себя все иррациональные числа. Следовательно, $\frac{\pi}{3}$ принадлежит множеству действительных чисел. Утверждение верно.

Ответ: верно.

470. Верно ли утверждение:

1) $0 \in \boldsymbol{N};$

2) $0 \notin \boldsymbol{Z};$

3) $0 \in \boldsymbol{R};$

4) $-\frac{3}{7} \in \boldsymbol{Q};$

5) $-\frac{3}{7} \notin \boldsymbol{R};$

6) $\sqrt{9} \in \boldsymbol{Q};$

7) $\sqrt{9} \in \boldsymbol{Z};$

8) $\sqrt{9} \in \boldsymbol{R}?$

1) $0 \in N$
Данное утверждение гласит, что 0 принадлежит множеству натуральных чисел. Множество натуральных чисел $N$ используется для счета предметов и, в соответствии со стандартом, принятым в российских школах, включает в себя целые положительные числа, начиная с 1: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Ноль не является натуральным числом в этой системе. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

2) $0 \notin Z$
Это утверждение означает, что 0 не принадлежит множеству целых чисел. Множество целых чисел $Z$ включает в себя все натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. По определению, 0 является целым числом. Таким образом, утверждение, что 0 не является целым числом, ложно.
Ответ: неверно.

3) $0 \in R$
Утверждается, что 0 принадлежит множеству действительных чисел. Множество действительных (или вещественных) чисел $R$ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Поскольку множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества действительных чисел ($Z \subset R$), и $0 \in Z$, то 0 также принадлежит и множеству действительных чисел. Утверждение верно.
Ответ: верно.

4) $-\frac{3}{7} \in Q$
Утверждение гласит, что число $-\frac{3}{7}$ принадлежит множеству рациональных чисел. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), а $n$ — целое ненулевое число ($n \in Z, n \neq 0$). Число $-\frac{3}{7}$ является именно такой дробью, где $m = -3$ и $n = 7$. Следовательно, это рациональное число. Утверждение верно.
Ответ: верно.

5) $-\frac{3}{7} \notin R$
Данное утверждение гласит, что число $-\frac{3}{7}$ не принадлежит множеству действительных чисел. Множество действительных чисел $R$ содержит в себе все рациональные числа $Q$. Как мы установили в предыдущем пункте, $-\frac{3}{7}$ — это рациональное число. Значит, оно также является и действительным числом. Утверждение, что $-\frac{3}{7}$ не принадлежит $R$, является ложным.
Ответ: неверно.

6) $\sqrt{9} \in Q$
Для проверки этого утверждения сначала вычислим значение $\sqrt{9}$. Арифметический квадратный корень из 9 равен 3. Таким образом, утверждение эквивалентно $3 \in Q$. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $3 = \frac{3}{1}$. Это соответствует определению рационального числа. Утверждение верно.
Ответ: верно.

7) $\sqrt{9} \in Z$
Сначала вычислим $\sqrt{9} = 3$. Утверждение можно переписать как $3 \in Z$. Множество целых чисел $Z$ содержит все натуральные числа, включая 3. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

8) $\sqrt{9} \in R$
Вычислим $\sqrt{9} = 3$. Утверждение принимает вид $3 \in R$. Множество действительных чисел $R$ включает в себя все целые числа. Поскольку 3 является целым числом, оно также является и действительным числом. Утверждение верно.
Ответ: верно.

471. Истинным или ложным является высказывание:

1) любое натуральное число ($\mathbb{N}$) является целым ($\mathbb{Z}$);

2) любое натуральное число ($\mathbb{N}$) является рациональным ($\mathbb{Q}$);

3) любое натуральное число ($\mathbb{N}$) является действительным ($\mathbb{R}$);

4) любое рациональное число ($\mathbb{Q}$) является целым ($\mathbb{Z}$);

5) любое действительное число ($\mathbb{R}$) является рациональным ($\mathbb{Q}$);

6) любое рациональное число ($\mathbb{Q}$) является действительным ($\mathbb{R}$);

7) любое иррациональное число ($\mathbb{I}$) является действительным ($\mathbb{R}$);

8) любое действительное число ($\mathbb{R}$) является рациональным ($\mathbb{Q}$) или иррациональным ($\mathbb{I}$)?

1) любое натуральное число является целым
Данное высказывание является истинным. Множество натуральных чисел ($\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$) используется для счета предметов. Множество целых чисел ($\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$) включает в себя все натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль. Таким образом, любое натуральное число является частью множества целых чисел, то есть является целым числом. Математически это записывается как $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
Ответ: Истинно

2) любое натуральное число является рациональным
Данное высказывание является истинным. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($\mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($\mathbb{N}$). Любое натуральное число $k$ можно представить в виде дроби $\frac{k}{1}$. Поскольку $k$ является целым числом и 1 является натуральным числом, то любое натуральное число удовлетворяет определению рационального числа. Таким образом, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$.
Ответ: Истинно

3) любое натуральное число является действительным
Данное высказывание является истинным. Множество действительных (или вещественных) чисел ($\mathbb{R}$) объединяет в себе все рациональные и иррациональные числа. Так как мы уже установили, что любое натуральное число является рациональным, а все рациональные числа являются действительными ($\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$), то отсюда следует, что и любое натуральное число является действительным ($\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$).
Ответ: Истинно

4) любое рациональное число является целым
Данное высказывание является ложным. Это обратное утверждение к тому, что любое целое является рациональным ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$), и оно неверно. Для опровержения достаточно привести контрпример. Например, число $\frac{1}{2}$ (или 0,5) является рациональным, так как оно представлено в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное. Однако $\frac{1}{2}$ не является целым числом. Следовательно, не все рациональные числа являются целыми.
Ответ: Ложно

5) любое действительное число является рациональным
Данное высказывание является ложным. Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ состоит из объединения множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ и множества иррациональных чисел $\mathbb{I}$. Иррациональные числа, такие как $\sqrt{2}$, $\pi$, или число Эйлера $e$, являются действительными, но не могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$. Следовательно, существуют действительные числа, которые не являются рациональными.
Ответ: Ложно

6) любое рациональное число является действительным
Данное высказывание является истинным. По определению, множество действительных чисел $\mathbb{R}$ включает в себя все рациональные числа. Любое рациональное число можно расположить на числовой прямой, а все точки на числовой прямой представляют действительные числа. Таким образом, множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$).
Ответ: Истинно

7) любое иррациональное число является действительным
Данное высказывание является истинным. Аналогично предыдущему пункту, по определению, множество действительных чисел $\mathbb{R}$ включает в себя все иррациональные числа. Множество иррациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$).
Ответ: Истинно

8) любое действительное число является рациональным или иррациональным?
Данное высказывание является истинным. Это утверждение является, по сути, определением множества действительных чисел. Множество $\mathbb{R}$ — это объединение двух непересекающихся множеств: рациональных чисел $\mathbb{Q}$ и иррациональных чисел $\mathbb{I}$. Это означает, что любое число, которое мы называем действительным, обязательно будет либо рациональным, либо иррациональным. Математически: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$ и $\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset$.
Ответ: Истинно