Страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

454. Какие фигуры могут быть пересечением двух лучей, лежащих на одной прямой?

Для определения всех возможных фигур, которые могут получиться в результате пересечения двух лучей, лежащих на одной прямой, рассмотрим все варианты их взаимного расположения. Пусть у нас есть луч с началом в точке $A$ и луч с началом в точке $B$.

Луч

Пересечением может быть луч. Такая ситуация возникает, если оба луча на прямой направлены в одну и ту же сторону (сонаправлены). Например, если луч с началом в точке $A$ и луч с началом в точке $B$ оба направлены вправо, и точка $A$ находится левее точки $B$. Тогда все точки луча с началом в $B$ принадлежат и лучу с началом в $A$. Их пересечением будет луч с началом в точке $B$. Если же начала лучей совпадают ($A=B$), то их пересечение — это сам исходный луч.

Ответ: луч.

Отрезок

Пересечением может быть отрезок. Это происходит, когда лучи направлены в противоположные стороны, «навстречу» друг другу. Например, если луч с началом в точке $A$ направлен вправо, а луч с началом в точке $B$ направлен влево, причем точка $A$ расположена левее точки $B$. Общей частью этих лучей будут все точки прямой, заключенные между $A$ и $B$, включая сами точки. Эта фигура является отрезком $[AB]$.

Ответ: отрезок.

Точка

Пересечением может быть точка. Этот случай реализуется, когда два луча имеют общее начало ($A=B$), но направлены в противоположные стороны. Их единственной общей точкой будет их общее начало.

Ответ: точка.

Пустое множество

Пересечение может быть пустым множеством (не содержать ни одной точки). Такая ситуация возникает, когда лучи на прямой направлены в противоположные стороны «друг от друга». Например, если луч с началом в точке $A$ направлен вправо, а луч с началом в точке $B$ направлен влево, но при этом точка $B$ находится левее точки $A$. В этом случае у лучей нет общих точек.

Ответ: пустое множество.

455. Какие из следующих утверждений верны:

1) $ \{a, b\} \cup \{b\} = \{a, b\} $;

2) $ \{a, b\} \cup \{b\} = \{b\} $;

3) $ \{a, b\} \cup \{a\} = \{a\} $;

4) $ \{a, b\} \cup \{b\} = \{\{b\}\} $?

Для определения верных утверждений необходимо проанализировать каждое из них, используя определение операции объединения множеств. Объединение двух множеств $A$ и $B$, которое обозначается как $A \cup B$, — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству $A$, или множеству $B$, или обоим этим множествам одновременно.

1) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{a, b\}$

Рассмотрим левую часть равенства. Первое множество $\{a, b\}$ состоит из элементов $a$ и $b$. Второе множество $\{b\}$ состоит из элемента $b$. Объединение этих двух множеств включает в себя все уникальные элементы из обоих множеств. Таким образом, мы берем элементы $a$ и $b$ из первого множества и добавляем уникальные элементы из второго. Элемент $b$ уже присутствует. Следовательно, результат объединения — это множество, содержащее элементы $a$ и $b$.
Математически: $\{a, b\} \cup \{b\} = \{a, b\}$.
Правая часть утверждения равна $\{a, b\}$. Поскольку левая и правая части совпадают, утверждение является верным.
Ответ: верно.

2) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{b\}$

Как было установлено в предыдущем пункте, результатом объединения $\{a, b\} \cup \{b\}$ является множество $\{a, b\}$. Утверждение же гласит, что результат равен $\{b\}$. Множество $\{a, b\}$ содержит элемент $a$, которого нет в множестве $\{b\}$ (при условии, что $a \neq b$). Следовательно, $\{a, b\} \neq \{b\}$. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

3) $\{a, b\} \cup \{a\} = \{a\}$

Рассмотрим левую часть равенства. Первое множество — $\{a, b\}$, второе — $\{a\}$. Их объединение будет содержать все уникальные элементы: $a$ и $b$. Таким образом, $\{a, b\} \cup \{a\} = \{a, b\}$. Утверждение гласит, что результат равен $\{a\}$. Так как $\{a, b\} \neq \{a\}$ (при условии, что $a \neq b$), это утверждение неверно.
Ответ: неверно.

4) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{\{b\}\}$

Как мы уже выяснили, $\{a, b\} \cup \{b\} = \{a, b\}$. Утверждение же предлагает в качестве результата множество $\{\{b\}\}$. Это множество содержит один-единственный элемент, который сам является множеством: $\{b\}$. Множество $\{a, b\}$, в свою очередь, содержит элементы $a$ и $b$. Элементы этих двух множеств совершенно различны. Следовательно, $\{a, b\} \neq \{\{b\}\}$. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, из четырех предложенных утверждений верным является только первое.

456. Найдите объединение множеств $A$ и $B$, если:

1) $A$ – множество равнобедренных треугольников, $B$ – множество равносторонних треугольников;

2) $A$ – множество простых чисел, $B$ – множество составных чисел;

3) $A$ – множество простых чисел, $B$ – множество нечётных чисел.

1)

Дано два множества:$A$ — множество равнобедренных треугольников, и $B$ — множество равносторонних треугольников.

Объединение множеств, обозначаемое как $A \cup B$, — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству $A$, или множеству $B$, или обоим множествам одновременно.

По определению, равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны равны. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны.

Любой равносторонний треугольник имеет три равные стороны, что удовлетворяет условию "как минимум две стороны равны". Следовательно, каждый равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Это означает, что множество равносторонних треугольников $B$ является подмножеством множества равнобедренных треугольников $A$. В виде формулы это записывается как $B \subset A$.

Когда одно множество является подмножеством другого, их объединение равно большему из этих множеств (надмножеству). В данном случае $A \cup B = A$.

Ответ: объединением множеств $A$ и $B$ является множество равнобедренных треугольников.

2)

Дано два множества в рамках натуральных чисел $\mathbb{N}$:$A$ — множество простых чисел, то есть $A = \{2, 3, 5, 7, 11, ...\}$.$B$ — множество составных чисел, то есть $B = \{4, 6, 8, 9, 10, ...\}$.

Объединение $A \cup B$ будет содержать все числа, которые являются либо простыми, либо составными.

Все множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ принято разделять на три категории:
- Простые числа (имеют ровно два делителя: 1 и само себя).
- Составные числа (имеют более двух делителей).
- Число 1 (имеет только один делитель, поэтому не является ни простым, ни составным).

Таким образом, объединив множество простых чисел $A$ и множество составных чисел $B$, мы получим все натуральные числа, за исключением числа 1.

$A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...\} = \mathbb{N} \setminus \{1\}$.

Ответ: объединением множеств $A$ и $B$ является множество всех натуральных чисел, кроме 1.

3)

Дано два множества в рамках натуральных чисел:$A$ — множество простых чисел, то есть $A = \{2, 3, 5, 7, 11, ...\}$.$B$ — множество нечётных чисел, то есть $B = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...\}$.

Объединение $A \cup B$ будет состоять из всех чисел, которые являются простыми или нечётными.

Рассмотрим состав этого объединения. Множество $B$ уже содержит все нечётные числа. Теперь посмотрим, какие числа из множества $A$ (простые числа) нужно добавить.

Все простые числа, за исключением одного, являются нечётными (например, 3, 5, 7, 11). Эти числа уже содержатся в множестве $B$. Единственное простое число, которое не является нечётным, — это число 2. Оно чётное, поэтому его нет в множестве $B$.

Следовательно, чтобы получить объединение $A \cup B$, нам нужно взять все элементы из множества нечётных чисел $B$ и добавить к ним те элементы из $A$, которых нет в $B$. Таким элементом является только число 2.

$A \cup B = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...\} \cup \{2\}$.

Ответ: объединением множеств $A$ и $B$ является множество, состоящее из всех нечётных натуральных чисел и числа 2.

457. Какие фигуры могут быть объединением двух лучей, лежащих на одной прямой?

Чтобы определить, какие фигуры могут получиться в результате объединения двух лучей, лежащих на одной прямой, необходимо рассмотреть все возможные варианты их взаимного расположения. Для удобства представим прямую как числовую ось и будем анализировать положение лучей в зависимости от их начальных точек и направлений.

Луч
Объединение двух лучей образует луч, если исходные лучи сонаправлены, то есть направлены в одну и ту же сторону.
Рассмотрим два луча, $l_1$ и $l_2$, с начальными точками $A$ (координата $a$) и $B$ (координата $b$).
Если оба луча направлены вправо, то они задаются неравенствами $x \ge a$ и $x \ge b$. Их объединение будет множеством точек $x \ge \min(a, b)$, что представляет собой луч, начинающийся в самой левой из двух начальных точек. Математически: $[a, +\infty) \cup [b, +\infty) = [\min(a, b), +\infty)$.
Аналогично, если оба луча направлены влево ($x \le a$ и $x \le b$), их объединение — это множество $x \le \max(a, b)$, то есть луч $(-\infty, \max(a, b)]$.
Таким образом, в случае сонаправленных лучей их объединением всегда является луч.
Ответ: Луч.

Прямая
Объединение двух лучей образует прямую, если лучи направлены в противоположные стороны и имеют хотя бы одну общую точку. Это происходит, когда лучи «смотрят» друг на друга или выходят из одной точки.
Пусть луч $l_1$ начинается в точке $A(a)$ и направлен вправо ($[a, +\infty)$), а луч $l_2$ начинается в точке $B(b)$ и направлен влево ($(–\infty, b]$).
Их объединение — это множество $[a, +\infty) \cup (–\infty, b]$.
Чтобы это объединение покрывало всю прямую, не должно быть промежутка между лучами. Это условие выполняется, когда начальная точка правого луча ($A$) не находится правее начальной точки левого луча ($B$), то есть при $a \le b$.
В этом случае любая точка на прямой принадлежит либо первому лучу, либо второму. Если $a=b$, лучи выходят из одной точки в разные стороны. Если $a<b$, лучи перекрываются на отрезке $[a,b]$. В обоих случаях их объединение — это вся прямая $(-\infty, +\infty)$.
Ответ: Прямая.

Объединение двух непересекающихся лучей
Эта фигура образуется, когда два луча на прямой направлены в противоположные стороны и не имеют общих точек. Такое расположение можно представить как лучи, «смотрящие» в разные стороны от некоторого промежутка.
Используем те же обозначения: луч $l_1 = [a, +\infty)$ и луч $l_2 = (–\infty, b]$.
Если начальная точка правого луча $A(a)$ находится строго правее начальной точки левого луча $B(b)$, то есть $a > b$, то лучи не пересекаются. Между ними остается «пустой» промежуток — открытый интервал $(b, a)$.
Объединением в этом случае является множество $(–\infty, b] \cup [a, +\infty)$. Эта фигура состоит из двух отдельных, непересекающихся лучей, лежащих на одной прямой. Такую фигуру также можно описать как прямую с выколотым интервалом.
Ответ: Объединение двух непересекающихся лучей.

458. Опишите на языке «необходимо и достаточно» принадлежность элемента $x$ множествам: 1) $A$ и $B$ (рис. 25, а); 2) $A$, $B$ и $C$ (рис. 25, б, в).

Рис. 25

а

б

в

В основе решения лежит определение необходимого и достаточного условия в контексте теории множеств. Утверждение «свойство P является достаточным для свойства Q» эквивалентно логическому следованию $P \implies Q$. Утверждение «свойство P является необходимым для свойства Q» эквивалентно следованию $Q \implies P$. Если P является необходимым и достаточным для Q, то это эквивалентно $P \iff Q$.

Применительно к принадлежности элемента $x$ множествам, если $A \subset B$, то из $x \in A$ следует $x \in B$. Таким образом, принадлежность множеству A является достаточным условием для принадлежности множеству B, а принадлежность множеству B является необходимым условием для принадлежности множеству A.

1) А и В (рис. 25, а)

На рисунке 25, а мы видим, что множество A целиком содержится внутри множества B. Это означает, что A является подмножеством B, что записывается как $A \subset B$.

Исходя из этого отношения ($A \subset B$), мы можем сформулировать следующие условия для принадлежности элемента $x$ этим множествам:

1. Если элемент $x$ принадлежит множеству A ($x \in A$), то он автоматически принадлежит и множеству B ($x \in B$). Следовательно, утверждение «$x \in A$» является достаточным условием для утверждения «$x \in B$».

2. Чтобы элемент $x$ мог принадлежать множеству A, он прежде всего должен быть элементом множества B. Если $x \notin B$, то он точно не может быть в A. Таким образом, утверждение «$x \in B$» является необходимым условием для утверждения «$x \in A$».

Ответ: Для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству B, достаточно, чтобы он принадлежал множеству A. Для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству A, необходимо, чтобы он принадлежал множеству B.

2) А, В и С (рис. 25, б, в)

В этом пункте необходимо проанализировать два разных случая, представленных на рисунках 25, б и 25, в.

Анализ по рисунку 25, б:

На этом рисунке изображены два пересекающихся множества, A и B. Область их пересечения обозначена буквой C. Это позволяет нам интерпретировать C как множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и A, и B, то есть $C = A \cap B$. Из этого следует, что C является подмножеством как A ($C \subset A$), так и B ($C \subset B$).

Опишем условия принадлежности для элемента $x$:

• Для принадлежности множеству C: Условие «$x \in C$» равносильно условию «$x \in A$ и $x \in B$». Таким образом, для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству C, необходимо и достаточно, чтобы он принадлежал и множеству A, и множеству B.

• Отношения между A и C: Так как $C \subset A$, то принадлежность $x$ к C является достаточным условием для его принадлежности к A. И наоборот, принадлежность $x$ к A является необходимым условием для его принадлежности к C.

• Отношения между B и C: Аналогично, так как $C \subset B$, принадлежность $x$ к C является достаточным условием для его принадлежности к B, а принадлежность $x$ к B — необходимым условием для принадлежности к C.

Анализ по рисунку 25, в:

На рисунке 25, в показано, что множества B и C полностью содержатся в множестве A, при этом B и C не пересекаются друг с другом. Это соответствует следующим отношениям: $B \subset A$, $C \subset A$ и $B \cap C = \emptyset$.

Опишем условия принадлежности для элемента $x$:

• Отношения с множеством A: Поскольку и B, и C являются подмножествами A, то принадлежность элемента $x$ любому из множеств B или C является достаточным условием для его принадлежности множеству A. В свою очередь, принадлежность $x$ множеству A является необходимым условием для его принадлежности как множеству B, так и множеству C.

• Отношения между B и C: Так как множества B и C не пересекаются ($B \cap C = \emptyset$), ни один элемент не может принадлежать им одновременно. Отсюда следует, что принадлежность $x$ множеству B является достаточным условием для его непринадлежности множеству C ($x \in B \implies x \notin C$), и наоборот. Также для принадлежности $x$ множеству B необходимо, чтобы он не принадлежал множеству C, и наоборот.

Ответ: Для рис. 25, б: Для принадлежности элемента $x$ множеству C необходимо и достаточно, чтобы он принадлежал и множеству A, и множеству B. Принадлежность $x$ к C достаточна для принадлежности к A (и к B); принадлежность $x$ к A (или к B) необходима для принадлежности к C.
Для рис. 25, в: Принадлежность $x$ к B (или к C) достаточна для принадлежности к A. Принадлежность к A необходима для принадлежности к B (и к C). Принадлежность к B достаточна для непринадлежности к C (и наоборот), а непринадлежность к C необходима для принадлежности к B (и наоборот).

459. Вместо точек поставьте слово «необходимо» или «достаточно», чтобы образовалось верное утверждение:

1) для того чтобы треугольник был равносторонним, ..., чтобы два его угла были равны;

2) для того чтобы четырёхугольник был параллелограммом, ..., чтобы две его стороны были параллельны;

3) для того чтобы число делилось нацело на 3, ..., чтобы оно делилось нацело на 9;

4) для того чтобы последняя цифра десятичной записи числа была нулём, ..., чтобы число было кратным 5.

В этой задаче нужно определить, является ли одно условие необходимым или достаточным для другого. Разберем каждое утверждение.

• Необходимое условие: Если утверждение A истинно, то утверждение B тоже обязательно истинно ($A \Rightarrow B$). Без B не может быть A.
• Достаточное условие: Если утверждение B истинно, то этого хватает, чтобы утверждение A тоже было истинно ($B \Rightarrow A$). Наличие B гарантирует A.

Пусть A — "треугольник равносторонний", а B — "два его угла равны".

Проверим, является ли B необходимым для A. Если треугольник равносторонний (A), то все три его угла равны $60^\circ$. Значит, любые два его угла точно равны. Следовательно, условие B необходимо.

Проверим, является ли B достаточным для A. Если у треугольника два угла равны (B), он называется равнобедренным. Однако не каждый равнобедренный треугольник является равносторонним. Например, треугольник с углами $70^\circ, 70^\circ, 40^\circ$ — равнобедренный, но не равносторонний. Значит, условие B не является достаточным.

Таким образом, условие B является необходимым, но не достаточным.

Ответ: необходимо.

Пусть A — "четырёхугольник является параллелограммом", а B — "две его стороны параллельны".

Проверим, является ли B необходимым для A. Если четырёхугольник — параллелограмм (A), то по определению у него две пары параллельных противоположных сторон. Это означает, что у него точно есть хотя бы одна пара параллельных сторон. Следовательно, условие B необходимо.

Проверим, является ли B достаточным для A. Если у четырёхугольника две стороны параллельны (B), он не обязательно является параллелограммом. Примером может служить трапеция, у которой только одна пара сторон параллельна, а другая — нет. Значит, условие B не является достаточным.

Таким образом, условие B является необходимым, но не достаточным.

Ответ: необходимо.

Пусть A — "число делится нацело на 3", а B — "число делится нацело на 9".

Проверим, является ли B необходимым для A. Если число делится на 3 (A), должно ли оно обязательно делиться на 9? Нет. Например, число 6 делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, условие B не является необходимым.

Проверим, является ли B достаточным для A. Если число делится на 9 (B), делится ли оно на 3? Да. Любое число, кратное 9, можно записать как $9k = 3 \cdot (3k)$, где $k$ — целое число. Очевидно, что такое число всегда делится на 3. Значит, условие B является достаточным.

Таким образом, условие B является достаточным, но не необходимым.

Ответ: достаточно.

Пусть A — "последняя цифра числа — нуль", а B — "число кратно 5".

Проверим, является ли B необходимым для A. Если последняя цифра числа — нуль (A), то число делится на 10. Любое число, которое делится на 10, также делится и на 5. Следовательно, условие B необходимо.

Проверим, является ли B достаточным для A. Если число кратно 5 (B), означает ли это, что его последняя цифра — нуль? Нет. По признаку делимости на 5, последняя цифра числа должна быть 0 или 5. Например, число 25 кратно 5, но его последняя цифра не нуль. Значит, условие B не является достаточным.

Таким образом, условие B является необходимым, но не достаточным.

Ответ: необходимо.

460. Упростите выражение:

1) $3a^{-6}b^2 \cdot 0,4a^{-2}b^{-5};$

2) $\frac{4,8a^2b^{-4}}{0,6a^3b^{-6}}.$

1) Для упрощения выражения $3a^{-6}b^2 \cdot 0,4a^{-2}b^{-5}$ необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

Сгруппируем множители:

$(3 \cdot 0,4) \cdot (a^{-6} \cdot a^{-2}) \cdot (b^2 \cdot b^{-5})$

1. Вычислим произведение числовых коэффициентов:

$3 \cdot 0,4 = 1,2$

2. Применим правило умножения степеней с одинаковыми основаниями ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$a^{-6} \cdot a^{-2} = a^{-6 + (-2)} = a^{-8}$

$b^2 \cdot b^{-5} = b^{2 + (-5)} = b^{-3}$

3. Объединим полученные результаты:

$1,2a^{-8}b^{-3}$

Ответ: $1,2a^{-8}b^{-3}$

2) Для упрощения выражения $\frac{4,8a^2b^{-4}}{0,6a^3b^{-6}}$ необходимо выполнить деление числовых коэффициентов и степеней с одинаковыми основаниями.

1. Разделим числовые коэффициенты:

$\frac{4,8}{0,6} = \frac{48}{6} = 8$

2. Применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями ($\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):

$\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1}$

$\frac{b^{-4}}{b^{-6}} = b^{-4 - (-6)} = b^{-4+6} = b^2$

3. Объединим полученные результаты:

$8a^{-1}b^2$

Ответ: $8a^{-1}b^2$