Страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

429. Запишите множество корней уравнения:

1) $x(x - 1) = 0;$

2) $(x - 2)(x^2 - 4) = 0;$

3) $x = 2;$

4) $x^2 + 3 = 0.$

1) Дано уравнение $x(x - 1) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$

или

$x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и 1. Множество корней записывается как $\{0, 1\}$.

Ответ: $\{0, 1\}$.

2) Дано уравнение $(x - 2)(x^2 - 4) = 0$.

Это уравнение также представляет собой произведение, равное нулю. Рассмотрим каждый множитель отдельно:

Первый множитель: $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$.

Второй множитель: $x^2 - 4 = 0$. Перенесем 4 в правую часть: $x^2 = 4$. Извлекая квадратный корень, получаем два решения: $x = 2$ и $x = -2$.

Объединим все найденные корни. Корень $x=2$ получается из обоих множителей, а корень $x=-2$ — только из второго. В множество корней каждый корень входит только один раз. Таким образом, множество корней уравнения: $\{-2, 2\}$.

Ответ: $\{-2, 2\}$.

3) Дано уравнение $x = 2$.

Это уравнение уже решено относительно переменной $x$. Оно утверждает, что $x$ равен 2. Следовательно, у этого уравнения есть только один корень.

Множество корней состоит из одного элемента.

Ответ: $\{2\}$.

4) Дано уравнение $x^2 + 3 = 0$.

Для решения этого уравнения перенесем 3 в правую часть:

$x^2 = -3$.

В множестве действительных чисел квадрат любого числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Поскольку левая часть уравнения всегда неотрицательна, а правая часть отрицательна, равенство невозможно. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Множество корней этого уравнения является пустым.

Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).

430. Задайте с помощью перечисления элементов множество:

1) правильных дробей со знаменателем $7$;

2) правильных дробей, знаменатель которых не больше $4$;

3) букв слова «математика»;

4) цифр числа $5555$.

1) правильных дробей со знаменателем 7;
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель (натуральное число) меньше знаменателя. В данном случае знаменатель равен 7. Числитель должен быть натуральным числом, меньшим 7, то есть он может принимать значения от 1 до 6. Таким образом, получаем следующее множество дробей:
Ответ: $ \{ \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7} \} $.

2) правильных дробей, знаменатель которых не больше 4;
Знаменатель правильной дроби должен быть натуральным числом, не большим 4. При этом для правильной дроби должен существовать натуральный числитель, который меньше знаменателя. Это возможно для знаменателей 2, 3 и 4.
- Для знаменателя 2: числитель 1. Дробь: $ \frac{1}{2} $.
- Для знаменателя 3: числители 1, 2. Дроби: $ \frac{1}{3}, \frac{2}{3} $.
- Для знаменателя 4: числители 1, 2, 3. Дроби: $ \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4} $.
Объединяя все найденные дроби, получаем искомое множество.
Ответ: $ \{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4} \} $.

3) букв слова «математика»;
Множество состоит из уникальных элементов. В слове «математика» (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) необходимо выделить все неповторяющиеся буквы. Это буквы: м, а, т, е, и, к.
Ответ: $ \{м, а, т, е, и, к\} $.

4) цифр числа 5555.
Множество состоит из уникальных элементов. Число 5555 записано с помощью цифр 5, 5, 5, 5. Единственная уникальная цифра в этой записи — это 5.
Ответ: $ \{5\} $.

431. Равны ли множества $A$ и $B$, если:

1) $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 1\}$;

2) $A = \{(1; 0)\}$, $B = \{(0; 1)\}$;

3) $A = \{1\}$, $B = \{\{1\}\}$?

1) Даны множества $A = \{1, 2\}$ и $B = \{2, 1\}$.
Два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Порядок перечисления элементов в множестве не имеет значения.
Множество $A$ содержит элементы 1 и 2.
Множество $B$ также содержит элементы 1 и 2.
Поскольку оба множества содержат одинаковые элементы, они равны ($A=B$).
Ответ: Да, множества равны.

2) Даны множества $A = \{(1; 0)\}$ и $B = \{(0; 1)\}$.
Элементами этих множеств являются упорядоченные пары. Множество $A$ содержит один элемент — упорядоченную пару $(1; 0)$. Множество $B$ также содержит один элемент — упорядоченную пару $(0; 1)$.
Упорядоченные пары $(a; b)$ и $(c; d)$ равны тогда и только тогда, когда их соответствующие компоненты равны, то есть $a=c$ и $b=d$.
В данном случае, для пар $(1; 0)$ и $(0; 1)$ первая компонента $1 \neq 0$. Следовательно, упорядоченные пары не равны: $(1; 0) \neq (0; 1)$.
Так как элементы множеств $A$ и $B$ различны, сами множества не равны.
Ответ: Нет, множества не равны.

3) Даны множества $A = \{1\}$ и $B = \{\{1\}\}$.
Множество $A$ содержит один элемент — число 1. Математически это записывается как $1 \in A$.
Множество $B$ содержит один элемент, который сам является множеством, состоящим из числа 1. Это записывается как $\{1\} \in B$.
Элемент множества $A$ (число 1) и элемент множества $B$ (множество $\{1\}$) — это разные математические объекты. То есть, $1 \neq \{1\}$.
Поскольку множества $A$ и $B$ состоят из разных элементов, они не равны.
Ответ: Нет, множества не равны.

432. Равны ли множества А и В, если:

1) А – множество корней уравнения $|x| = x$, В – множество неотрицательных чисел;

2) А – множество четырёхугольников, у которых противоположные стороны попарно равны; В – множество четырёхугольников, у которых диагонали точкой пересечения делятся пополам?

1) Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Чтобы определить, равны ли множества A и B, необходимо найти элементы каждого множества и сравнить их.

Множество A — это множество корней уравнения $|x| = x$.
Раскроем модуль по определению:
а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $x = x$. Это верное равенство для любого $x$ из рассматриваемого промежутка, то есть для всех $x \ge 0$.
б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $-x = x$, что равносильно $2x = 0$, откуда $x = 0$. Однако это значение не входит в промежуток $x < 0$, поэтому в этом случае корней нет.
Объединяя результаты, получаем, что решением уравнения $|x| = x$ является множество всех неотрицательных чисел. Итак, $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0\}$.

Множество B по условию — это множество неотрицательных чисел. То есть, $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0\}$.

Так как множества A и B содержат одни и те же элементы, они равны.

Ответ: Да, множества A и B равны.

2) Рассмотрим определения множеств A и B.

Множество A — это множество четырёхугольников, у которых противоположные стороны попарно равны. Согласно одному из признаков параллелограмма, если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. И наоборот, у любого параллелограмма противоположные стороны равны. Следовательно, множество A — это множество всех параллелограммов.

Множество B — это множество четырёхугольников, у которых диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это также является признаком и свойством параллелограмма. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. И наоборот, у любого параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, множество B — это также множество всех параллелограммов.

Поскольку оба множества, A и B, являются множествами всех параллелограммов, они состоят из одних и тех же фигур и, следовательно, равны.

Ответ: Да, множества A и B равны.

433. Какие из следующих множеств равны пустому множеству:

1) множество треугольников, сумма углов которых равна $181^\circ$;

2) множество горных вершин высотой более 8800 м;

3) множество остроугольных треугольников, медиана которых равна половине стороны, к которой она проведена;

4) множество функций, графиками которых являются окружности?

1) множество треугольников, сумма углов которых равна 181°;
Согласно фундаментальной теореме евклидовой геометрии, сумма внутренних углов любого треугольника на плоскости строго равна $180^\circ$. Треугольник, сумма углов которого составляет $181^\circ$, не может существовать в рамках этой геометрии. Следовательно, данное множество не содержит ни одного элемента.
Ответ: это множество является пустым.

2) множество горных вершин высотой более 8800 м;
Самая высокая горная вершина на Земле — гора Эверест (также известна как Джомолунгма). Её официальная высота составляет 8848,86 метров. Поскольку $8848,86 \text{ м} > 8800 \text{ м}$, гора Эверест является элементом данного множества. Так как множество содержит как минимум один элемент, оно не является пустым.
Ответ: это множество не является пустым.

3) множество остроугольных треугольников, медиана которых равна половине стороны, к которой она проведена;
Существует теорема, которая гласит: медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, тогда и только тогда, когда треугольник является прямоугольным, а указанная сторона — его гипотенузой. Это следует из того, что центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, и медиана, проведенная к ней, является радиусом этой окружности. Остроугольный треугольник по определению имеет все углы меньше $90^\circ$ и, следовательно, не может быть прямоугольным. Таким образом, не существует остроугольных треугольников, обладающих указанным свойством.
Ответ: это множество является пустым.

4) множество функций, графиками которых являются окружности?
По определению, функция — это такое соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу первого множества (области определения) соответствует один и только один элемент второго множества (области значений). Графически это выражается "тестом вертикальной линии": любая вертикальная прямая может пересекать график функции не более чем в одной точке. Уравнение окружности в декартовых координатах имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Если из этого уравнения выразить $y$, мы получим $y = b \pm \sqrt{r^2 - (x - a)^2}$. Это означает, что для одного значения $x$ (в пределах от $a-r$ до $a+r$, не включая концы) существуют два различных значения $y$. Это нарушает определение функции. Следовательно, окружность не может быть графиком функции.
Ответ: это множество является пустым.

Таким образом, пустыми являются множества, перечисленные в пунктах 1, 3 и 4.

434. Упростите выражение:

1) $\frac{5b}{b-3} - \frac{b+6}{2b-6} : \frac{90}{b^2+6b}$

2) $\frac{b+2}{b^2-2b+1} : \frac{b^2-4}{3b-3} - \frac{3}{b-2}$

1) $\frac{5b}{b-3} - \frac{b+6}{2b-6} \cdot \frac{90}{b^2+6b}$

Порядок действий предписывает сначала выполнить умножение, а затем вычитание. Начнем с умножения дробей.

Разложим знаменатели дробей на множители, чтобы найти общие множители для сокращения:

$2b-6 = 2(b-3)$

$b^2+6b = b(b+6)$

Теперь выполним умножение с разложенными знаменателями:

$\frac{b+6}{2b-6} \cdot \frac{90}{b^2+6b} = \frac{b+6}{2(b-3)} \cdot \frac{90}{b(b+6)}$

Сокращаем общие множители. $(b+6)$ в числителе первой дроби и знаменателе второй, а также числовые коэффициенты 90 и 2:

$\frac{1}{2(b-3)} \cdot \frac{90}{b} = \frac{45}{b(b-3)}$

Теперь вернемся к исходному выражению и выполним вычитание:

$\frac{5b}{b-3} - \frac{45}{b(b-3)}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен $b(b-3)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$:

$\frac{5b \cdot b}{b(b-3)} - \frac{45}{b(b-3)} = \frac{5b^2 - 45}{b(b-3)}$

Упростим числитель, вынеся за скобки общий множитель 5 и применив формулу разности квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$:

$5b^2 - 45 = 5(b^2-9) = 5(b-3)(b+3)$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим на общий множитель $(b-3)$:

$\frac{5(b-3)(b+3)}{b(b-3)} = \frac{5(b+3)}{b}$

Ответ: $\frac{5(b+3)}{b}$.

2) $\frac{b+2}{b^2-2b+1} : \frac{b^2-4}{3b-3} - \frac{3}{b-2}$

Сначала выполним деление, а затем вычитание. Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

Разложим числители и знаменатели на множители:

$b^2-2b+1 = (b-1)^2$ (формула квадрата разности)

$b^2-4 = (b-2)(b+2)$ (формула разности квадратов)

$3b-3 = 3(b-1)$

Теперь выполним деление:

$\frac{b+2}{b^2-2b+1} : \frac{b^2-4}{3b-3} = \frac{b+2}{(b-1)^2} \cdot \frac{3(b-1)}{(b-2)(b+2)}$

Сократим общие множители: $(b+2)$ и $(b-1)$:

$\frac{1}{(b-1)} \cdot \frac{3}{b-2} = \frac{3}{(b-1)(b-2)}$

Теперь подставим результат в исходное выражение и выполним вычитание:

$\frac{3}{(b-1)(b-2)} - \frac{3}{b-2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(b-1)(b-2)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(b-1)$:

$\frac{3}{(b-1)(b-2)} - \frac{3(b-1)}{(b-1)(b-2)} = \frac{3 - 3(b-1)}{(b-1)(b-2)}$

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$3 - 3(b-1) = 3 - 3b + 3 = 6 - 3b$

Вынесем общий множитель $-3$ за скобки, чтобы получить выражение, удобное для сокращения:

$6 - 3b = -3(b-2)$

Подставим упрощенный числитель в дробь и сократим на общий множитель $(b-2)$:

$\frac{-3(b-2)}{(b-1)(b-2)} = \frac{-3}{b-1}$

Ответ: $\frac{-3}{b-1}$.

435. Моторная лодка проплыла 36 км по течению реки за 3 ч и 36,8 км против течения за 4 ч. Какова скорость течения реки?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий: найти скорость лодки по течению, затем скорость против течения и, наконец, вычислить скорость самого течения.

1. Вычисление скорости лодки по течению реки

Скорость находится по формуле $v = S / t$, где $S$ — расстояние, а $t$ — время. Моторная лодка прошла 36 км за 3 часа. Следовательно, её скорость по течению составляет:

$v_{по\;течению} = 36 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 12 \text{ км/ч}$

2. Вычисление скорости лодки против течения реки

Аналогично, вычислим скорость лодки, когда она двигалась против течения. Она прошла 36,8 км за 4 часа:

$v_{против\;течения} = 36,8 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 9,2 \text{ км/ч}$

3. Вычисление скорости течения реки

Скорость по течению — это сумма собственной скорости лодки ($v_{соб}$) и скорости течения ($v_{теч}$), а скорость против течения — их разность:

$v_{по\;течению} = v_{соб} + v_{теч}$

$v_{против\;течения} = v_{соб} - v_{теч}$

Чтобы найти скорость течения, нужно вычесть из скорости по течению скорость против течения и разделить результат на 2:

$v_{по\;течению} - v_{против\;течения} = (v_{соб} + v_{теч}) - (v_{соб} - v_{теч}) = 2 \cdot v_{теч}$

Отсюда получаем формулу для скорости течения:

$v_{теч} = (v_{по\;течению} - v_{против\;течения}) / 2$

Подставим наши значения:

$v_{теч} = (12 - 9,2) / 2 = 2,8 / 2 = 1,4 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость течения реки равна 1,4 км/ч.

436. В коробке лежат 42 карандаша, из них 14 карандашей – красные, 16 карандашей – синие, а остальные – зелёные. Какова вероятность того, что наугад взятый карандаш не будет ни красным, ни синим?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула имеет вид: $P(A) = \frac{m}{n}$.

1. Найдем общее число всех возможных исходов (n).
В коробке лежат 42 карандаша. Это означает, что общее число вариантов при извлечении одного карандаша равно 42.
$n = 42$.

2. Найдем число благоприятствующих исходов (m).
Нас интересует событие, при котором наугад взятый карандаш не будет ни красным, ни синим. По условию, остальные карандаши в коробке — зелёные. Следовательно, это событие эквивалентно тому, что взятый карандаш будет зелёным.
Сначала вычислим количество зелёных карандашей. Для этого из общего количества карандашей вычтем сумму красных и синих карандашей.
Количество красных карандашей: 14.
Количество синих карандашей: 16.
Количество зелёных карандашей = $42 - (14 + 16) = 42 - 30 = 12$.
Таким образом, число исходов, благоприятствующих нашему событию (вытащить зелёный карандаш), равно 12.
$m = 12$.

3. Вычислим искомую вероятность.
Подставим найденные значения $m$ и $n$ в формулу вероятности:
$P(\text{карандаш не красный и не синий}) = \frac{m}{n} = \frac{12}{42}$.

Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для числителя 12 и знаменателя 42 равен 6.
$\frac{12}{42} = \frac{12 \div 6}{42 \div 6} = \frac{2}{7}$.
Таким образом, вероятность того, что наугад взятый карандаш не будет ни красным, ни синим, равна $\frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$

437. Петя и Коля ежедневно записывают по одному числу. В первый день каждый из мальчиков записал число 1. В каждый последующий день Петя записывает число 1, а Коля — число, равное сумме чисел, записанных мальчиками за предыдущие дни. Может ли в какой-то день Коля записать число, оканчивающееся на 101?

Для решения задачи давайте проанализируем последовательность чисел, которые записывает Коля. Обозначим число, которое записывает Петя в день $n$, как $P_n$, а число, которое записывает Коля, как $K_n$.

По условию задачи:

• В первый день ($n=1$): $P_1 = 1$, $K_1 = 1$.
• В каждый последующий день ($n > 1$): $P_n = 1$, а $K_n$ равно сумме всех чисел, записанных за предыдущие дни.

Пусть $S_{n-1}$ — это сумма всех чисел, записанных за первые $n-1$ дней. Тогда $S_{n-1} = \sum_{i=1}^{n-1} (P_i + K_i)$. По определению, для $n > 1$, $K_n = S_{n-1}$.

Найдем закономерность в последовательности чисел Коли:

• День 1:
  $P_1 = 1, K_1 = 1$.
  Сумма за день: $P_1 + K_1 = 2$.
  Общая сумма на конец дня 1: $S_1 = 2$.
• День 2:
  $P_2 = 1$.
  $K_2 = S_1 = 2$.
  Сумма за день: $P_2 + K_2 = 1 + 2 = 3$.
  Общая сумма на конец дня 2: $S_2 = S_1 + (P_2 + K_2) = 2 + 3 = 5$.
• День 3:
  $P_3 = 1$.
  $K_3 = S_2 = 5$.
  Сумма за день: $P_3 + K_3 = 1 + 5 = 6$.
  Общая сумма на конец дня 3: $S_3 = S_2 + (P_3 + K_3) = 5 + 6 = 11$.
• День 4:
  $P_4 = 1$.
  $K_4 = S_3 = 11$.

Последовательность чисел, которые записывает Коля: $K_1=1, K_2=2, K_3=5, K_4=11, \dots$

Выведем общую формулу для $K_n$:

Связь между общей суммой $S_n$ и $S_{n-1}$ выглядит так:

$S_n = S_{n-1} + P_n + K_n$

Поскольку для $n>1$ у нас $P_n=1$ и $K_n=S_{n-1}$, подставим эти значения в формулу:

$S_n = S_{n-1} + 1 + S_{n-1} = 2S_{n-1} + 1$.

Так как $K_{n+1} = S_n$ для $n \ge 1$, то для $n \ge 2$ мы можем записать рекуррентное соотношение для чисел Коли:

$K_{n+1} = 2K_n + 1$ (для $n \ge 2$).

Найдем явную формулу для $K_n$ при $n \ge 2$. Это известная рекуррентная последовательность. Если прибавить 1 к обеим частям, получим:

$K_{n+1} + 1 = 2K_n + 2 = 2(K_n + 1)$.

Это означает, что последовательность $K_n+1$ является геометрической прогрессией со знаменателем 2. Найдем первый член этой новой последовательности при $n=2$: $K_2+1 = 2+1=3$.

Тогда для $n \ge 2$ имеем:

$K_n + 1 = (K_2+1) \cdot 2^{n-2} = 3 \cdot 2^{n-2}$

Отсюда получаем явную формулу для чисел Коли при $n \ge 2$:

$K_n = 3 \cdot 2^{n-2} - 1$

Проверим: $K_2 = 3 \cdot 2^0 - 1 = 2$. Верно.
$K_3 = 3 \cdot 2^1 - 1 = 5$. Верно.
$K_4 = 3 \cdot 2^2 - 1 = 11$. Верно.

Проверим, может ли число Коли оканчиваться на 101:

Нам нужно выяснить, может ли существовать такой номер дня $n$, что $K_n$ оканчивается на 101. Это эквивалентно сравнению по модулю 1000:

$K_n \equiv 101 \pmod{1000}$

Рассмотрим два случая:

1. Случай $n=1$:

$K_1 = 1$. Очевидно, что $1 \not\equiv 101 \pmod{1000}$.

2. Случай $n \ge 2$:

Используем выведенную формулу $K_n = 3 \cdot 2^{n-2} - 1$.

$3 \cdot 2^{n-2} - 1 \equiv 101 \pmod{1000}$

$3 \cdot 2^{n-2} \equiv 102 \pmod{1000}$

Это сравнение означает, что $3 \cdot 2^{n-2}$ должно иметь вид $1000k + 102$ для некоторого целого $k \ge 0$.

Проверим это равенство по модулю 4. Это поможет нам сузить возможные значения $n$.

Рассмотрим правую часть: $102 = 4 \cdot 25 + 2$, следовательно $102 \equiv 2 \pmod{4}$.

Рассмотрим левую часть $3 \cdot 2^{n-2}$ по модулю 4:

• Если $n=2$, $n-2=0$, левая часть равна $3 \cdot 2^0 = 3$. $3 \not\equiv 2 \pmod{4}$.
• Если $n=3$, $n-2=1$, левая часть равна $3 \cdot 2^1 = 6$. $6 \equiv 2 \pmod{4}$. Этот случай требует дальнейшей проверки. При $n=3$ $K_3=5$, что не оканчивается на 101.
• Если $n \ge 4$, то $n-2 \ge 2$. В этом случае $2^{n-2}$ делится на 4. Тогда $3 \cdot 2^{n-2} \equiv 3 \cdot 0 \equiv 0 \pmod{4}$.

Для $n \ge 4$ мы получаем противоречие: левая часть сравнения $3 \cdot 2^{n-2} \equiv 102 \pmod{1000}$ по модулю 4 равна 0, а правая часть равна 2. То есть $0 \equiv 2 \pmod{4}$, что неверно. Следовательно, для $n \ge 4$ решений нет.

Мы проверили все возможные случаи: $n=1, n=2, n=3$ и $n \ge 4$. Ни в одном из них число, записанное Колей, не оканчивается на 101.

Ответ: Нет, не может.