Номер 432, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Множество и его элементы. Упражнения - номер 432, страница 108.

Условие.

432. Равны ли множества А и В, если:

1) А – множество корней уравнения $|x| = x$, В – множество неотрицательных чисел;

2) А – множество четырёхугольников, у которых противоположные стороны попарно равны; В – множество четырёхугольников, у которых диагонали точкой пересечения делятся пополам?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

1) Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Чтобы определить, равны ли множества A и B, необходимо найти элементы каждого множества и сравнить их.

Множество A — это множество корней уравнения $|x| = x$.
Раскроем модуль по определению:
а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $x = x$. Это верное равенство для любого $x$ из рассматриваемого промежутка, то есть для всех $x \ge 0$.
б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $-x = x$, что равносильно $2x = 0$, откуда $x = 0$. Однако это значение не входит в промежуток $x < 0$, поэтому в этом случае корней нет.
Объединяя результаты, получаем, что решением уравнения $|x| = x$ является множество всех неотрицательных чисел. Итак, $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0\}$.

Множество B по условию — это множество неотрицательных чисел. То есть, $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0\}$.

Так как множества A и B содержат одни и те же элементы, они равны.

Ответ: Да, множества A и B равны.

2) Рассмотрим определения множеств A и B.

Множество A — это множество четырёхугольников, у которых противоположные стороны попарно равны. Согласно одному из признаков параллелограмма, если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. И наоборот, у любого параллелограмма противоположные стороны равны. Следовательно, множество A — это множество всех параллелограммов.

Множество B — это множество четырёхугольников, у которых диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это также является признаком и свойством параллелограмма. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. И наоборот, у любого параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, множество B — это также множество всех параллелограммов.

Поскольку оба множества, A и B, являются множествами всех параллелограммов, они состоят из одних и тех же фигур и, следовательно, равны.

Ответ: Да, множества A и B равны.