Номер 433, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Множество и его элементы. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 433, страница 108.

Условие.

433. Какие из следующих множеств равны пустому множеству:

1) множество треугольников, сумма углов которых равна $181^\circ$;

2) множество горных вершин высотой более 8800 м;

3) множество остроугольных треугольников, медиана которых равна половине стороны, к которой она проведена;

4) множество функций, графиками которых являются окружности?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

1) множество треугольников, сумма углов которых равна 181°;
Согласно фундаментальной теореме евклидовой геометрии, сумма внутренних углов любого треугольника на плоскости строго равна $180^\circ$. Треугольник, сумма углов которого составляет $181^\circ$, не может существовать в рамках этой геометрии. Следовательно, данное множество не содержит ни одного элемента.
Ответ: это множество является пустым.

2) множество горных вершин высотой более 8800 м;
Самая высокая горная вершина на Земле — гора Эверест (также известна как Джомолунгма). Её официальная высота составляет 8848,86 метров. Поскольку $8848,86 \text{ м} > 8800 \text{ м}$, гора Эверест является элементом данного множества. Так как множество содержит как минимум один элемент, оно не является пустым.
Ответ: это множество не является пустым.

3) множество остроугольных треугольников, медиана которых равна половине стороны, к которой она проведена;
Существует теорема, которая гласит: медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, тогда и только тогда, когда треугольник является прямоугольным, а указанная сторона — его гипотенузой. Это следует из того, что центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, и медиана, проведенная к ней, является радиусом этой окружности. Остроугольный треугольник по определению имеет все углы меньше $90^\circ$ и, следовательно, не может быть прямоугольным. Таким образом, не существует остроугольных треугольников, обладающих указанным свойством.
Ответ: это множество является пустым.

4) множество функций, графиками которых являются окружности?
По определению, функция — это такое соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу первого множества (области определения) соответствует один и только один элемент второго множества (области значений). Графически это выражается "тестом вертикальной линии": любая вертикальная прямая может пересекать график функции не более чем в одной точке. Уравнение окружности в декартовых координатах имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Если из этого уравнения выразить $y$, мы получим $y = b \pm \sqrt{r^2 - (x - a)^2}$. Это означает, что для одного значения $x$ (в пределах от $a-r$ до $a+r$, не включая концы) существуют два различных значения $y$. Это нарушает определение функции. Следовательно, окружность не может быть графиком функции.
Ответ: это множество является пустым.

Таким образом, пустыми являются множества, перечисленные в пунктах 1, 3 и 4.