Номер 437, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 13. Множество и его элементы. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 437, страница 108.
№437 (с. 108)
Условие. №437 (с. 108)
скриншот условия


437. Петя и Коля ежедневно записывают по одному числу. В первый день каждый из мальчиков записал число 1. В каждый последующий день Петя записывает число 1, а Коля — число, равное сумме чисел, записанных мальчиками за предыдущие дни. Может ли в какой-то день Коля записать число, оканчивающееся на 101?
Решение 1. №437 (с. 108)

Решение 2. №437 (с. 108)

Решение 3. №437 (с. 108)

Решение 5. №437 (с. 108)

Решение 6. №437 (с. 108)

Решение 8. №437 (с. 108)
Для решения задачи давайте проанализируем последовательность чисел, которые записывает Коля. Обозначим число, которое записывает Петя в день $n$, как $P_n$, а число, которое записывает Коля, как $K_n$.
По условию задачи:
- В первый день ($n=1$): $P_1 = 1$, $K_1 = 1$.
- В каждый последующий день ($n > 1$): $P_n = 1$, а $K_n$ равно сумме всех чисел, записанных за предыдущие дни.
Пусть $S_{n-1}$ — это сумма всех чисел, записанных за первые $n-1$ дней. Тогда $S_{n-1} = \sum_{i=1}^{n-1} (P_i + K_i)$. По определению, для $n > 1$, $K_n = S_{n-1}$.
Найдем закономерность в последовательности чисел Коли:
- День 1:
$P_1 = 1, K_1 = 1$.
Сумма за день: $P_1 + K_1 = 2$.
Общая сумма на конец дня 1: $S_1 = 2$. - День 2:
$P_2 = 1$.
$K_2 = S_1 = 2$.
Сумма за день: $P_2 + K_2 = 1 + 2 = 3$.
Общая сумма на конец дня 2: $S_2 = S_1 + (P_2 + K_2) = 2 + 3 = 5$. - День 3:
$P_3 = 1$.
$K_3 = S_2 = 5$.
Сумма за день: $P_3 + K_3 = 1 + 5 = 6$.
Общая сумма на конец дня 3: $S_3 = S_2 + (P_3 + K_3) = 5 + 6 = 11$. - День 4:
$P_4 = 1$.
$K_4 = S_3 = 11$.
Последовательность чисел, которые записывает Коля: $K_1=1, K_2=2, K_3=5, K_4=11, \dots$
Выведем общую формулу для $K_n$:
Связь между общей суммой $S_n$ и $S_{n-1}$ выглядит так:
$S_n = S_{n-1} + P_n + K_n$
Поскольку для $n>1$ у нас $P_n=1$ и $K_n=S_{n-1}$, подставим эти значения в формулу:
$S_n = S_{n-1} + 1 + S_{n-1} = 2S_{n-1} + 1$.
Так как $K_{n+1} = S_n$ для $n \ge 1$, то для $n \ge 2$ мы можем записать рекуррентное соотношение для чисел Коли:
$K_{n+1} = 2K_n + 1$ (для $n \ge 2$).
Найдем явную формулу для $K_n$ при $n \ge 2$. Это известная рекуррентная последовательность. Если прибавить 1 к обеим частям, получим:
$K_{n+1} + 1 = 2K_n + 2 = 2(K_n + 1)$.
Это означает, что последовательность $K_n+1$ является геометрической прогрессией со знаменателем 2. Найдем первый член этой новой последовательности при $n=2$: $K_2+1 = 2+1=3$.
Тогда для $n \ge 2$ имеем:
$K_n + 1 = (K_2+1) \cdot 2^{n-2} = 3 \cdot 2^{n-2}$
Отсюда получаем явную формулу для чисел Коли при $n \ge 2$:
$K_n = 3 \cdot 2^{n-2} - 1$
Проверим: $K_2 = 3 \cdot 2^0 - 1 = 2$. Верно.
$K_3 = 3 \cdot 2^1 - 1 = 5$. Верно.
$K_4 = 3 \cdot 2^2 - 1 = 11$. Верно.
Проверим, может ли число Коли оканчиваться на 101:
Нам нужно выяснить, может ли существовать такой номер дня $n$, что $K_n$ оканчивается на 101. Это эквивалентно сравнению по модулю 1000:
$K_n \equiv 101 \pmod{1000}$
Рассмотрим два случая:
1. Случай $n=1$:
$K_1 = 1$. Очевидно, что $1 \not\equiv 101 \pmod{1000}$.
2. Случай $n \ge 2$:
Используем выведенную формулу $K_n = 3 \cdot 2^{n-2} - 1$.
$3 \cdot 2^{n-2} - 1 \equiv 101 \pmod{1000}$
$3 \cdot 2^{n-2} \equiv 102 \pmod{1000}$
Это сравнение означает, что $3 \cdot 2^{n-2}$ должно иметь вид $1000k + 102$ для некоторого целого $k \ge 0$.
Проверим это равенство по модулю 4. Это поможет нам сузить возможные значения $n$.
Рассмотрим правую часть: $102 = 4 \cdot 25 + 2$, следовательно $102 \equiv 2 \pmod{4}$.
Рассмотрим левую часть $3 \cdot 2^{n-2}$ по модулю 4:
- Если $n=2$, $n-2=0$, левая часть равна $3 \cdot 2^0 = 3$. $3 \not\equiv 2 \pmod{4}$.
- Если $n=3$, $n-2=1$, левая часть равна $3 \cdot 2^1 = 6$. $6 \equiv 2 \pmod{4}$. Этот случай требует дальнейшей проверки. При $n=3$ $K_3=5$, что не оканчивается на 101.
- Если $n \ge 4$, то $n-2 \ge 2$. В этом случае $2^{n-2}$ делится на 4. Тогда $3 \cdot 2^{n-2} \equiv 3 \cdot 0 \equiv 0 \pmod{4}$.
Для $n \ge 4$ мы получаем противоречие: левая часть сравнения $3 \cdot 2^{n-2} \equiv 102 \pmod{1000}$ по модулю 4 равна 0, а правая часть равна 2. То есть $0 \equiv 2 \pmod{4}$, что неверно. Следовательно, для $n \ge 4$ решений нет.
Мы проверили все возможные случаи: $n=1, n=2, n=3$ и $n \ge 4$. Ни в одном из них число, записанное Колей, не оканчивается на 101.
Ответ: Нет, не может.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 437 расположенного на странице 108 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №437 (с. 108), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.