Номер 1, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 1, страница 113.

Условие.

1. Какое множество называют подмножеством данного множества?

Решение 2.

Решение 8.

1. Множество A называют подмножеством данного множества B, если каждый элемент, который принадлежит множеству A, также принадлежит и множеству B.

Это отношение обозначается символом $ \subseteq $. Запись $A \subseteq B$ читается как «множество A является подмножеством множества B» или «множество A содержится в множестве B». Более строго, на языке математической логики, определение выглядит так: $A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)$, что означает "A является подмножеством B тогда и только тогда, когда для любого элемента x, если x принадлежит A, то x принадлежит B".

Примеры:
- Пусть даны множества $M = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ и $K = \{2, 4\}$. Поскольку каждый элемент множества $K$ (элементы 2 и 4) также является элементом множества $M$, то $K$ является подмножеством $M$. Это записывается как $K \subseteq M$.
- Пусть $N$ — это множество натуральных чисел ($N = \{1, 2, 3, \dots\}$), а $Z$ — это множество целых чисел ($Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$). Тогда $N$ является подмножеством $Z$, так как любое натуральное число является и целым числом. Запись: $N \subseteq Z$.

Свойства подмножеств:
1. Пустое множество (обозначается $\emptyset$), которое не содержит ни одного элемента, является подмножеством любого множества. То есть, для любого множества $A$ верно, что $\emptyset \subseteq A$.
2. Любое множество является подмножеством самого себя. Для любого множества $A$ верно, что $A \subseteq A$.

Также существует понятие строгого (или собственного) подмножества. Множество $A$ является строгим подмножеством множества $B$, если $A$ является подмножеством $B$, но при этом $A$ не равно $B$ ($A \neq B$). Это означает, что в множестве $B$ существует хотя бы один элемент, который не принадлежит множеству $A$. Обозначается это как $A \subset B$. В примере выше, $N \subset Z$, так как в $Z$ есть элементы (например, 0 или -5), которых нет в $N$.

Ответ: Подмножеством данного множества называют такое множество, каждый элемент которого также является элементом данного множества.