Страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое множество называют подмножеством данного множества?

1. Множество A называют подмножеством данного множества B, если каждый элемент, который принадлежит множеству A, также принадлежит и множеству B.

Это отношение обозначается символом $ \subseteq $. Запись $A \subseteq B$ читается как «множество A является подмножеством множества B» или «множество A содержится в множестве B». Более строго, на языке математической логики, определение выглядит так: $A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)$, что означает "A является подмножеством B тогда и только тогда, когда для любого элемента x, если x принадлежит A, то x принадлежит B".

Примеры:
- Пусть даны множества $M = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ и $K = \{2, 4\}$. Поскольку каждый элемент множества $K$ (элементы 2 и 4) также является элементом множества $M$, то $K$ является подмножеством $M$. Это записывается как $K \subseteq M$.
- Пусть $N$ — это множество натуральных чисел ($N = \{1, 2, 3, \dots\}$), а $Z$ — это множество целых чисел ($Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$). Тогда $N$ является подмножеством $Z$, так как любое натуральное число является и целым числом. Запись: $N \subseteq Z$.

Свойства подмножеств:
1. Пустое множество (обозначается $\emptyset$), которое не содержит ни одного элемента, является подмножеством любого множества. То есть, для любого множества $A$ верно, что $\emptyset \subseteq A$.
2. Любое множество является подмножеством самого себя. Для любого множества $A$ верно, что $A \subseteq A$.

Также существует понятие строгого (или собственного) подмножества. Множество $A$ является строгим подмножеством множества $B$, если $A$ является подмножеством $B$, но при этом $A$ не равно $B$ ($A \neq B$). Это означает, что в множестве $B$ существует хотя бы один элемент, который не принадлежит множеству $A$. Обозначается это как $A \subset B$. В примере выше, $N \subset Z$, так как в $Z$ есть элементы (например, 0 или -5), которых нет в $N$.

Ответ: Подмножеством данного множества называют такое множество, каждый элемент которого также является элементом данного множества.

2. Как наглядно иллюстрируют соотношение между множествами?

Для наглядной иллюстрации соотношений между множествами чаще всего используются специальные схемы, которые называют диаграммами Эйлера — Венна, или для краткости просто диаграммами Венна.

Основной принцип этих диаграмм заключается в следующем:

• Универсальное множество ($U$) — совокупность всех возможных элементов в рамках данной задачи — изображается в виде большого прямоугольника.
• Множества — отдельные группы элементов ($A$, $B$, $C$ и т.д.) — изображаются в виде кругов или других замкнутых фигур внутри этого прямоугольника.
• Считается, что элементы множества — это точки, находящиеся внутри соответствующего круга.

С помощью такого графического подхода можно наглядно представить основные логические отношения и операции над множествами.

Включение (Подмножество)
Если все элементы множества $A$ также являются элементами множества $B$, то говорят, что $A$ является подмножеством $B$ ($A \subset B$). На диаграмме это изображается так, что круг $A$ полностью находится внутри круга $B$.

Пересечение множеств
Пересечением множеств $A$ и $B$ (обозначается как $A \cap B$) является множество, которое содержит только те элементы, что принадлежат одновременно и $A$, и $B$. На диаграмме это область, где круги $A$ и $B$ перекрываются.

Объединение множеств
Объединением множеств $A$ и $B$ ($A \cup B$) является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (либо $A$, либо $B$, либо обоим сразу). Визуально это вся площадь, занимаемая кругами $A$ и $B$ вместе.

Непересекающиеся множества
Если множества $A$ и $B$ не имеют общих элементов, их пересечение является пустым множеством ($A \cap B = \emptyset$). На диаграмме их круги изображаются отдельно, без соприкосновения и перекрытия.

Разность множеств
Разностью множеств $A$ и $B$ ($A \setminus B$) является множество, состоящее из всех элементов $A$, которые не входят в $B$. На диаграмме это та часть круга $A$, которая не перекрывается с кругом $B$.

Дополнение множества
Дополнением множества $A$ (обозначается $A'$ или $\overline{A}$) является множество всех элементов универсального множества $U$, которые не принадлежат $A$. На диаграмме это вся область внутри прямоугольника $U$, но снаружи круга $A$.

Таким образом, диаграммы Венна предоставляют интуитивно понятный способ визуализации абстрактных соотношений между множествами, что делает их незаменимым инструментом в математике, логике и информатике.

Ответ: Соотношения между множествами наглядно иллюстрируют с помощью диаграмм Эйлера — Венна. В этих диаграммах множества изображаются в виде кругов (или других замкнутых фигур), а логические связи между ними (такие как включение, пересечение, объединение) показываются через взаимное расположение и перекрытие этих фигур внутри прямоугольника, обозначающего универсальное множество.

3. Какое множество является подмножеством любого множества?

2.

Для наглядной иллюстрации соотношений между множествами используются диаграммы Эйлера-Венна. Это схематическое изображение, в котором множества представляются в виде замкнутых фигур, обычно кругов или овалов, на плоскости. Универсальное множество, содержащее все рассматриваемые элементы, часто изображают в виде прямоугольника, внутри которого располагаются фигуры, представляющие другие множества.

С помощью этих диаграмм можно показать различные отношения между множествами. Например:
• Включение (подмножество): Если множество A является подмножеством множества B ($A \subset B$), то круг, изображающий A, полностью находится внутри круга, изображающего B.
• Пересечение: Если множества имеют общие элементы, их круги пересекаются. Область пересечения представляет собой множество элементов, принадлежащих и A, и B ($A \cap B$).
• Непересекающиеся множества: Если множества не имеют общих элементов, их круги изображаются отдельно, без пересечений.
• Объединение: Вся область, занимаемая кругами A и B вместе, представляет собой их объединение ($A \cup B$).
Таким образом, диаграммы позволяют легко визуализировать логические операции над множествами и понять их свойства.

Ответ: Диаграммы Эйлера-Венна.

3.

Множество, которое является подмножеством любого другого множества, — это пустое множество.

Пустое множество, обозначаемое как $\emptyset$ или {}, — это множество, которое не содержит ни одного элемента.

По определению, множество A является подмножеством множества B (записывается как $A \subseteq B$), если каждый элемент множества A также является элементом множества B. Это можно выразить логическим утверждением: для любого элемента x, если $x \in A$, то $x \in B$.

Применим это определение к пустому множеству. Пусть $A = \emptyset$. Тогда условие $\emptyset \subseteq B$ означает, что для любого элемента x верно утверждение: "если $x \in \emptyset$, то $x \in B$".

Поскольку в пустом множестве нет элементов, утверждение "$x \in \emptyset$" всегда ложно. В математической логике, любое условное утверждение (импликация) вида "если P, то Q" считается истинным, если его посылка P ложна. Этот принцип известен как "vacuous truth" (истинность в силу пустоты).

Следовательно, утверждение "если $x \in \emptyset$, то $x \in B$" истинно для любого элемента x и для любого множества B. Это доказывает, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Ответ: Пустое множество.

4. Что называют пересечением двух множеств?

Пересечением двух множеств $A$ и $B$ называется новое множество, которое содержит все те и только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Иными словами, это множество всех общих элементов для множеств $A$ и $B$.

Операция пересечения множеств обозначается символом $\cap$. Запись $A \cap B$ читается как «пересечение множеств A и B».

Формальное определение пересечения с помощью математической нотации выглядит следующим образом:

$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}$

Это означает, что элемент $x$ принадлежит пересечению множеств $A$ и $B$ тогда и только тогда, когда $x$ принадлежит $A$ и одновременно $x$ принадлежит $B$.

Пример 1:

Возьмем два множества: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ и $B = \{4, 5, 6, 7\}$.

Общими элементами для этих множеств являются числа 4 и 5. Следовательно, их пересечением будет множество, содержащее именно эти элементы:

$A \cap B = \{4, 5\}$

Пример 2 (непересекающиеся множества):

Рассмотрим множества $C = \{a, b, c\}$ и $D = \{d, e, f\}$.

У этих множеств нет ни одного общего элемента. В таком случае говорят, что их пересечение является пустым множеством, которое обозначается символом $\emptyset$.

$C \cap D = \emptyset$

Визуально пересечение множеств удобно представлять с помощью диаграмм Венна, где пересечение — это общая, заштрихованная область наложения кругов, представляющих множества.

Ответ: Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, которые одновременно принадлежат и первому, и второму множеству.

5. Что называют объединением двух множеств?

Определение

Объединением (иногда также называемым суммой) двух множеств $A$ и $B$ называется такое множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. Иными словами, в объединение входят все элементы, которые есть в множестве $A$, или в множестве $B$, или в обоих множествах одновременно.

Объединение множеств $A$ и $B$ обозначается символом $\cup$, а запись $A \cup B$ читается как "А объединение Б".

Формальное определение объединения с помощью теоретико-множественной записи выглядит так:$A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}$Здесь символ $\lor$ означает логическое "ИЛИ". Эта запись говорит о том, что элемент $x$ принадлежит объединению $A \cup B$ тогда и только тогда, когда $x$ принадлежит множеству $A$ или $x$ принадлежит множеству $B$. Важно помнить, что множества не содержат дубликатов, поэтому если элемент принадлежит обоим исходным множествам, в их объединение он войдет только в одном экземпляре.

Пример

Рассмотрим два множества:

• Множество $A = \{1, 3, 5, 7\}$ (множество нечетных чисел до 8)
• Множество $B = \{1, 2, 3, 5, 8\}$ (некоторые числа Фибоначчи)

Чтобы найти их объединение $A \cup B$, мы должны собрать все уникальные элементы из обоих множеств.

Начнем с элементов множества $A$: $\{1, 3, 5, 7\}$.Теперь добавим к ним недостающие элементы из множества $B$:

• Элемент '1' уже есть.
• Элемент '2' отсутствует, добавляем его.
• Элемент '3' уже есть.
• Элемент '5' уже есть.
• Элемент '8' отсутствует, добавляем его.

В результате объединения всех уникальных элементов получаем новое множество:$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8\}$

Основные свойства операции объединения

• Коммутативность (переместительный закон): Порядок множеств при объединении не имеет значения. $A \cup B = B \cup A$.
• Ассоциативность (сочетательный закон): При объединении трех и более множеств порядок выполнения операций не важен. $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$.
• Идемпотентность: Объединение множества с самим собой равно самому множеству. $A \cup A = A$.
• Объединение с пустым множеством: Пустое множество ($\emptyset$) является нейтральным элементом для операции объединения, то есть объединение любого множества с пустым множеством равно самому этому множеству. $A \cup \emptyset = A$.

Ответ: Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих двух множеств. Формально, для множеств $A$ и $B$ их объединение $A \cup B$ — это множество всех таких элементов $x$, для которых верно утверждение "$x$ принадлежит $A$ или $x$ принадлежит $B$".

438. Назовите несколько подмножеств учащихся вашего класса.

Пусть $U$ — это множество всех учащихся класса. Подмножество — это часть этого множества, то есть любая группа, состоящая только из учащихся этого класса. Подмножества можно формировать по различным признакам. Приведем несколько примеров.

• Множество девочек класса. Все девочки являются учащимися данного класса, следовательно, множество девочек является подмножеством всех учащихся класса.

• Множество отличников. Учащиеся, которые имеют только отличные оценки, образуют группу, которая является частью всего класса. Это подмножество.

• Множество учащихся, сидящих в первом ряду. Эта группа также является подмножеством, так как все сидящие в первом ряду — учащиеся этого класса.

• Множество участников спортивных секций. Ученики, посещающие спортивные секции, являются частью класса, поэтому это подмножество.

• Пустое множество. Это множество, в котором нет ни одного элемента. Например, множество учащихся класса, которые были на Луне. Таких учеников в классе нет, поэтому это пустое множество. Пустое множество, обозначаемое как $\emptyset$, является подмножеством любого множества.

• Множество всех учащихся класса. Любое множество является своим собственным подмножеством. То есть, если мы возьмем всех без исключения учеников класса, эта группа будет являться подмножеством сама себе.

Ответ: Примерами подмножеств учащихся класса могут служить: множество всех девочек класса, множество отличников, множество учеников, сидящих за одной партой, множество участников школьной олимпиады, пустое множество.

439. Назовите какие-нибудь геометрические фигуры, которые являются подмножествами:

1) множества точек прямой;

2) множества точек круга.

1) множества точек прямой

По определению, подмножество $A$ множества $B$ — это такое множество, что каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$. В контексте геометрии, прямая — это бесконечное множество точек. Следовательно, любая геометрическая фигура, все точки которой лежат на этой прямой, будет являться ее подмножеством.
Рассмотрим несколько примеров:

• Точка: Одна-единственная точка, лежащая на прямой, образует множество, состоящее из одного элемента. Это множество является подмножеством множества всех точек прямой.
• Отрезок: Это часть прямой, ограниченная двумя точками (включая эти точки). Все точки отрезка по определению лежат на прямой, поэтому отрезок является подмножеством прямой.
• Луч: Это часть прямой, которая начинается в определенной точке и продолжается бесконечно в одном направлении. Все точки луча принадлежат исходной прямой, значит, луч — это подмножество прямой.
• Интервал: Это часть прямой между двумя точками, не включая сами эти точки. Также является подмножеством прямой.
• Сама прямая: Любое множество является своим собственным подмножеством.

Ответ: точка, отрезок, луч.

2) множества точек круга

Круг — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки (центра) не превышает заданного неотрицательного числа (радиуса). Это означает, что круг включает в себя и свою границу — окружность, и все точки внутри нее. Любая фигура, которая целиком содержится внутри или на границе круга, является его подмножеством.
Примеры таких фигур:

• Точка: Любая точка, находящаяся внутри или на границе круга. Например, центр круга.
• Радиус: Отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на его окружности. Все точки этого отрезка находятся внутри круга.
• Диаметр: Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр. Является подмножеством круга.
• Хорда: Любой отрезок, соединяющий две точки на окружности. Все точки хорды лежат внутри или на границе круга.
• Сектор круга: Область, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности между ними. Является подмножеством круга.
• Сегмент круга: Область, ограниченная хордой и дугой окружности. Является подмножеством круга.
• Вписанный многоугольник: Любой многоугольник (например, треугольник или квадрат), все вершины которого лежат на окружности. Вся площадь такого многоугольника содержится внутри круга.
• Окружность: Граница круга сама по себе является множеством точек, и все они принадлежат кругу.

Ответ: точка, радиус, диаметр, хорда, сектор, сегмент, вписанный многоугольник.

440. Пусть A — множество букв слова «координата». Множества букв каких слов являются подмножествами множества A:

1) нора;

2) трактор;

3) картина;

4) крокодил;

5) нитки;

6) корка;

7) дар;

8) подарок;

9) ордината;

10) дорога;

11) корона;

12) кардинал?

Сначала определим множество A, которое состоит из уникальных букв слова «координата».

Слово «координата» содержит буквы: к, о, о, р, д, и, н, а, т, а.

Убирая повторяющиеся буквы, мы получаем множество A, состоящее из следующих элементов: $A = \{к, о, р, д, и, н, а, т\}$.

Теперь для каждого предложенного слова определим, является ли множество его букв подмножеством множества A. Множество $B$ является подмножеством множества $A$ (обозначается как $B \subseteq A$), если каждый элемент множества $B$ также является элементом множества $A$.

1) нора;

Множество букв слова «нора»: $B_1 = \{н, о, р, а\}$.

Проверим принадлежность каждой буквы из $B_1$ множеству A: н $\in$ A, о $\in$ A, р $\in$ A, а $\in$ A. Все буквы содержатся в множестве A.

Следовательно, $B_1 \subseteq A$.

Ответ: да, является подмножеством.

2) трактор;

Множество букв слова «трактор»: $B_2 = \{т, р, а, к, о\}$.

Проверим принадлежность каждой буквы из $B_2$ множеству A: т $\in$ A, р $\in$ A, а $\in$ A, к $\in$ A, о $\in$ A. Все буквы содержатся в множестве A.

Следовательно, $B_2 \subseteq A$.

Ответ: да, является подмножеством.

3) картина;

Множество букв слова «картина»: $B_3 = \{к, а, р, т, и, н\}$.

Проверим принадлежность каждой буквы из $B_3$ множеству A: к $\in$ A, а $\in$ A, р $\in$ A, т $\in$ A, и $\in$ A, н $\in$ A. Все буквы содержатся в множестве A.

Следовательно, $B_3 \subseteq A$.

Ответ: да, является подмножеством.

4) крокодил;

Множество букв слова «крокодил»: $B_4 = \{к, р, о, д, и, л\}$.

Проверим принадлежность каждой буквы из $B_4$ множеству A: буквы к, р, о, д, и содержатся в A, но буква 'л' не принадлежит множеству A (л $\notin$ A).

Следовательно, $B_4 \not\subseteq A$.

Ответ: нет, не является подмножеством.

5) нитки;

Множество букв слова «нитки»: $B_5 = \{н, и, т, к\}$.

Проверим принадлежность каждой буквы из $B_5$ множеству A: н $\in$ A, и $\in$ A, т $\in$ A, к $\in$ A. Все буквы содержатся в множестве A.

Следовательно, $B_5 \subseteq A$.

Ответ: да, является подмножеством.

6) корка;

Множество букв слова «корка»: $B_6 = \{к, о, р, а\}$.

Проверим принадлежность каждой буквы из $B_6$ множеству A: к $\in$ A, о $\in$ A, р $\in$ A, а $\in$ A. Все буквы содержатся в множестве A.

Следовательно, $B_6 \subseteq A$.

Ответ: да, является подмножеством.

7) дар;

Множество букв слова «дар»: $B_7 = \{д, а, р\}$.

Проверим принадлежность каждой буквы из $B_7$ множеству A: д $\in$ A, а $\in$ A, р $\in$ A. Все буквы содержатся в множестве A.

Следовательно, $B_7 \subseteq A$.

Ответ: да, является подмножеством.

8) подарок;

Множество букв слова «подарок»: $B_8 = \{п, о, д, а, р, к\}$.

Проверим принадлежность каждой буквы из $B_8$ множеству A: буквы о, д, а, р, к содержатся в A, но буква 'п' не принадлежит множеству A (п $\notin$ A).

Следовательно, $B_8 \not\subseteq A$.

Ответ: нет, не является подмножеством.

9) ордината;

Множество букв слова «ордината»: $B_9 = \{о, р, д, и, н, а, т\}$.

Проверим принадлежность каждой буквы из $B_9$ множеству A: о $\in$ A, р $\in$ A, д $\in$ A, и $\in$ A, н $\in$ A, а $\in$ A, т $\in$ A. Все буквы содержатся в множестве A.

Следовательно, $B_9 \subseteq A$.

Ответ: да, является подмножеством.

10) дорога;

Множество букв слова «дорога»: $B_{10} = \{д, о, р, г, а\}$.

Проверим принадлежность каждой буквы из $B_{10}$ множеству A: буквы д, о, р, а содержатся в A, но буква 'г' не принадлежит множеству A (г $\notin$ A).

Следовательно, $B_{10} \not\subseteq A$.

Ответ: нет, не является подмножеством.

11) корона;

Множество букв слова «корона»: $B_{11} = \{к, о, р, н, а\}$.

Проверим принадлежность каждой буквы из $B_{11}$ множеству A: к $\in$ A, о $\in$ A, р $\in$ A, н $\in$ A, а $\in$ A. Все буквы содержатся в множестве A.

Следовательно, $B_{11} \subseteq A$.

Ответ: да, является подмножеством.

12) кардинал?

Множество букв слова «кардинал»: $B_{12} = \{к, а, р, д, и, н, л\}$.

Проверим принадлежность каждой буквы из $B_{12}$ множеству A: буквы к, а, р, д, и, н содержатся в A, но буква 'л' не принадлежит множеству A (л $\notin$ A).

Следовательно, $B_{12} \not\subseteq A$.

Ответ: нет, не является подмножеством.