Номер 3, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 3, страница 113.

Условие.

3. Какое множество является подмножеством любого множества?

Решение 2.

Решение 8.

2.

Для наглядной иллюстрации соотношений между множествами используются диаграммы Эйлера-Венна. Это схематическое изображение, в котором множества представляются в виде замкнутых фигур, обычно кругов или овалов, на плоскости. Универсальное множество, содержащее все рассматриваемые элементы, часто изображают в виде прямоугольника, внутри которого располагаются фигуры, представляющие другие множества.

С помощью этих диаграмм можно показать различные отношения между множествами. Например:
• Включение (подмножество): Если множество A является подмножеством множества B ($A \subset B$), то круг, изображающий A, полностью находится внутри круга, изображающего B.
• Пересечение: Если множества имеют общие элементы, их круги пересекаются. Область пересечения представляет собой множество элементов, принадлежащих и A, и B ($A \cap B$).
• Непересекающиеся множества: Если множества не имеют общих элементов, их круги изображаются отдельно, без пересечений.
• Объединение: Вся область, занимаемая кругами A и B вместе, представляет собой их объединение ($A \cup B$).
Таким образом, диаграммы позволяют легко визуализировать логические операции над множествами и понять их свойства.

Ответ: Диаграммы Эйлера-Венна.

3.

Множество, которое является подмножеством любого другого множества, — это пустое множество.

Пустое множество, обозначаемое как $\emptyset$ или {}, — это множество, которое не содержит ни одного элемента.

По определению, множество A является подмножеством множества B (записывается как $A \subseteq B$), если каждый элемент множества A также является элементом множества B. Это можно выразить логическим утверждением: для любого элемента x, если $x \in A$, то $x \in B$.

Применим это определение к пустому множеству. Пусть $A = \emptyset$. Тогда условие $\emptyset \subseteq B$ означает, что для любого элемента x верно утверждение: "если $x \in \emptyset$, то $x \in B$".

Поскольку в пустом множестве нет элементов, утверждение "$x \in \emptyset$" всегда ложно. В математической логике, любое условное утверждение (импликация) вида "если P, то Q" считается истинным, если его посылка P ложна. Этот принцип известен как "vacuous truth" (истинность в силу пустоты).

Следовательно, утверждение "если $x \in \emptyset$, то $x \in B$" истинно для любого элемента x и для любого множества B. Это доказывает, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Ответ: Пустое множество.