Номер 434, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Множество и его элементы. Упражнения - номер 434, страница 108.

Условие.

434. Упростите выражение:

1) $\frac{5b}{b-3} - \frac{b+6}{2b-6} : \frac{90}{b^2+6b}$

2) $\frac{b+2}{b^2-2b+1} : \frac{b^2-4}{3b-3} - \frac{3}{b-2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{5b}{b-3} - \frac{b+6}{2b-6} \cdot \frac{90}{b^2+6b}$

Порядок действий предписывает сначала выполнить умножение, а затем вычитание. Начнем с умножения дробей.

Разложим знаменатели дробей на множители, чтобы найти общие множители для сокращения:

$2b-6 = 2(b-3)$

$b^2+6b = b(b+6)$

Теперь выполним умножение с разложенными знаменателями:

$\frac{b+6}{2b-6} \cdot \frac{90}{b^2+6b} = \frac{b+6}{2(b-3)} \cdot \frac{90}{b(b+6)}$

Сокращаем общие множители. $(b+6)$ в числителе первой дроби и знаменателе второй, а также числовые коэффициенты 90 и 2:

$\frac{1}{2(b-3)} \cdot \frac{90}{b} = \frac{45}{b(b-3)}$

Теперь вернемся к исходному выражению и выполним вычитание:

$\frac{5b}{b-3} - \frac{45}{b(b-3)}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен $b(b-3)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$:

$\frac{5b \cdot b}{b(b-3)} - \frac{45}{b(b-3)} = \frac{5b^2 - 45}{b(b-3)}$

Упростим числитель, вынеся за скобки общий множитель 5 и применив формулу разности квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$:

$5b^2 - 45 = 5(b^2-9) = 5(b-3)(b+3)$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим на общий множитель $(b-3)$:

$\frac{5(b-3)(b+3)}{b(b-3)} = \frac{5(b+3)}{b}$

Ответ: $\frac{5(b+3)}{b}$.

2) $\frac{b+2}{b^2-2b+1} : \frac{b^2-4}{3b-3} - \frac{3}{b-2}$

Сначала выполним деление, а затем вычитание. Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

Разложим числители и знаменатели на множители:

$b^2-2b+1 = (b-1)^2$ (формула квадрата разности)

$b^2-4 = (b-2)(b+2)$ (формула разности квадратов)

$3b-3 = 3(b-1)$

Теперь выполним деление:

$\frac{b+2}{b^2-2b+1} : \frac{b^2-4}{3b-3} = \frac{b+2}{(b-1)^2} \cdot \frac{3(b-1)}{(b-2)(b+2)}$

Сократим общие множители: $(b+2)$ и $(b-1)$:

$\frac{1}{(b-1)} \cdot \frac{3}{b-2} = \frac{3}{(b-1)(b-2)}$

Теперь подставим результат в исходное выражение и выполним вычитание:

$\frac{3}{(b-1)(b-2)} - \frac{3}{b-2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(b-1)(b-2)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(b-1)$:

$\frac{3}{(b-1)(b-2)} - \frac{3(b-1)}{(b-1)(b-2)} = \frac{3 - 3(b-1)}{(b-1)(b-2)}$

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$3 - 3(b-1) = 3 - 3b + 3 = 6 - 3b$

Вынесем общий множитель $-3$ за скобки, чтобы получить выражение, удобное для сокращения:

$6 - 3b = -3(b-2)$

Подставим упрощенный числитель в дробь и сократим на общий множитель $(b-2)$:

$\frac{-3(b-2)}{(b-1)(b-2)} = \frac{-3}{b-1}$

Ответ: $\frac{-3}{b-1}$.