Номер 429, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Множество и его элементы. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 429, страница 108.

Условие.

429. Запишите множество корней уравнения:

1) $x(x - 1) = 0;$

2) $(x - 2)(x^2 - 4) = 0;$

3) $x = 2;$

4) $x^2 + 3 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение $x(x - 1) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$

или

$x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и 1. Множество корней записывается как $\{0, 1\}$.

Ответ: $\{0, 1\}$.

2) Дано уравнение $(x - 2)(x^2 - 4) = 0$.

Это уравнение также представляет собой произведение, равное нулю. Рассмотрим каждый множитель отдельно:

Первый множитель: $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$.

Второй множитель: $x^2 - 4 = 0$. Перенесем 4 в правую часть: $x^2 = 4$. Извлекая квадратный корень, получаем два решения: $x = 2$ и $x = -2$.

Объединим все найденные корни. Корень $x=2$ получается из обоих множителей, а корень $x=-2$ — только из второго. В множество корней каждый корень входит только один раз. Таким образом, множество корней уравнения: $\{-2, 2\}$.

Ответ: $\{-2, 2\}$.

3) Дано уравнение $x = 2$.

Это уравнение уже решено относительно переменной $x$. Оно утверждает, что $x$ равен 2. Следовательно, у этого уравнения есть только один корень.

Множество корней состоит из одного элемента.

Ответ: $\{2\}$.

4) Дано уравнение $x^2 + 3 = 0$.

Для решения этого уравнения перенесем 3 в правую часть:

$x^2 = -3$.

В множестве действительных чисел квадрат любого числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Поскольку левая часть уравнения всегда неотрицательна, а правая часть отрицательна, равенство невозможно. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Множество корней этого уравнения является пустым.

Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).