Номер 427, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Множество и его элементы. Упражнения - номер 427, страница 107.

Условие.

427. Дана функция $f(x) = x^2$. Поставьте вместо звёздочки знак $\in$ или $\notin$ так, чтобы получилось верное утверждение:

1) $3 * D(f)$;

2) $0 * D(f)$;

3) $0 * E(f)$;

4) $-\frac{1}{2} * E(f)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Дана функция $f(x) = x^2$. Чтобы правильно поставить знаки принадлежности ($\in$) или непринадлежности ($\notin$), сначала найдем область определения $D(f)$ и область значений $E(f)$ этой функции.

Область определения D(f):
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Функция $f(x) = x^2$ является многочленом (квадратичной функцией), который определен для любых действительных значений $x$. Нет никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа.
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа.
$D(f) = \mathbb{R}$ или $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений E(f):
Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция $f(x)$. Поскольку $x^2$ — это квадрат действительного числа, результат всегда будет неотрицательным, то есть большим или равным нулю. Минимальное значение достигается при $x=0$ и равно $f(0) = 0^2 = 0$.
Следовательно, область значений функции — это все неотрицательные действительные числа.
$E(f) = [0; +\infty)$.

Теперь рассмотрим каждое утверждение.

1) 3 * D(f);

Нужно определить, принадлежит ли число 3 области определения $D(f)$. Так как $D(f) = (-\infty; +\infty)$, а 3 является действительным числом, то 3 принадлежит этой области.
Ответ: $3 \in D(f)$.

2) 0 * D(f);

Нужно определить, принадлежит ли число 0 области определения $D(f)$. Так как $D(f) = (-\infty; +\infty)$, а 0 является действительным числом, то 0 принадлежит этой области.
Ответ: $0 \in D(f)$.

3) 0 * E(f);

Нужно определить, принадлежит ли число 0 области значений $E(f)$. Так как $E(f) = [0; +\infty)$, и этот промежуток включает 0 (значение $f(x)=0$ достигается при $x=0$), то 0 принадлежит этой области.
Ответ: $0 \in E(f)$.

4) $-\frac{1}{2} * E(f)$.

Нужно определить, принадлежит ли число $-\frac{1}{2}$ области значений $E(f)$. Так как $E(f) = [0; +\infty)$, что означает, что функция принимает только неотрицательные значения, а число $-\frac{1}{2}$ является отрицательным, то оно не принадлежит этой области.
Ответ: $-\frac{1}{2} \notin E(f)$.