Номер 6, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 13. Множество и его элементы. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 6, страница 107.

Условие.

6. Какие существуют способы задания множеств?

Решение 2.

Решение 8.

В математике и теории множеств существует несколько основных способов для определения или, как говорят, "задания" множества. Выбор способа зависит от природы множества (конечное оно или бесконечное) и от удобства в конкретном контексте.

1. Перечисление элементов (явное задание)

Этот способ заключается в прямом перечислении всех без исключения элементов множества. Элементы записываются в фигурных скобках $ \{\} $ и разделяются запятыми. Порядок, в котором перечислены элементы, не имеет значения, и каждый элемент указывается только один раз. Этот метод подходит для конечных множеств с относительно небольшим числом элементов.
Пример 1: Множество $A$, состоящее из первых пяти натуральных чисел, можно задать как $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
Пример 2: Множество $C$ цветов российского флага: $C = \{\text{белый, синий, красный}\}$.
Пример 3: Для некоторых бесконечных множеств, где последовательность элементов очевидна, используется многоточие: множество всех натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$.

Ответ: Множество задается путем явного перечисления всех его элементов в фигурных скобках.

2. Указание характеристического свойства (неявное задание)

Этот способ определяет множество через описание общего свойства, которым обладают все его элементы и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характеристическим. Запись обычно имеет вид $M = \{x \mid P(x)\}$, что читается как "множество $M$ состоит из всех таких элементов $x$, для которых истинно утверждение (свойство) $P(x)$". Вместо вертикальной черты иногда используется двоеточие. Этот метод универсален и подходит для задания как конечных, так и бесконечных множеств.
Пример 1: Множество $A$ из первого пункта можно задать так: $A = \{x \mid x \in \mathbb{N} \text{ и } x \le 5\}$.
Пример 2: Множество $B$ всех рациональных чисел: $B = \{x \mid x = \frac{p}{q}, \text{ где } p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}\}$.
Пример 3: Множество $K$ корней уравнения $x^2 - 4 = 0$: $K = \{x \mid x \in \mathbb{R} \text{ и } x^2 - 4 = 0\}$. Перечислив элементы, мы получим $K = \{-2, 2\}$.

Ответ: Множество задается путем описания свойства, которому удовлетворяют все его элементы и только они.

3. Порождающая процедура (рекурсивное или индуктивное определение)

Этот способ часто используется в информатике и математической логике. Множество определяется через задание трех компонентов:

1. Базис: Начальный (базовый) набор элементов, которые объявляются принадлежащими множеству.
2. Индуктивный шаг: Набор правил или операций, которые позволяют из уже имеющихся в множестве элементов строить новые элементы, также принадлежащие этому множеству.
3. Замыкание: Неявное или явное утверждение, что других элементов, кроме полученных с помощью базиса и индуктивного шага, в множестве нет.

Пример: Множество $S$ всех натуральных степеней числа 2 можно задать рекурсивно:
1. (Базис) $2 \in S$.
2. (Индуктивный шаг) Если $x \in S$, то $2x \in S$.
Применяя эти правила, мы последовательно получаем элементы множества: $2, 4, 8, 16, \dots$.

Ответ: Множество определяется через начальные элементы и правила для построения новых элементов из существующих.

4. С помощью диаграмм Эйлера-Венна

Это графический способ представления множеств. Множество изображается в виде замкнутой фигуры (чаще всего круга или овала) на плоскости. Элементы множества — это точки внутри этой фигуры. Хотя этот метод не является строгим формальным определением, он очень нагляден и широко используется для иллюстрации операций над множествами (объединение, пересечение, дополнение, разность) и для решения логических задач.

Ответ: Множество изображается графически в виде замкнутой области на плоскости, что помогает наглядно представить отношения между множествами.