Номер 421, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 421, страница 104.

Условие.

421. Найдите все трёхзначные натуральные числа $n$ такие, что сумма цифр числа $n$ в 11 раз меньше самого числа $n$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомое трёхзначное натуральное число $n$ состоит из цифр $a, b, c$. Тогда его можно записать в виде $n = 100a + 10b + c$. Поскольку число является трёхзначным, его первая цифра $a$ не может быть нулём, то есть $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, а цифры $b$ и $c$ могут быть любыми от 0 до 9, то есть $b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Сумма цифр числа $n$ равна $S = a + b + c$.

Согласно условию задачи, сумма цифр числа $n$ в 11 раз меньше самого числа $n$. Это означает, что число $n$ в 11 раз больше суммы своих цифр. Запишем это в виде уравнения: $n = 11 \cdot S$

Подставим в это уравнение выражения для $n$ и $S$: $100a + 10b + c = 11 \cdot (a + b + c)$

Теперь раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы связать между собой цифры $a, b, c$: $100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c$

Перенесём все слагаемые с $a$ в левую часть, а слагаемые с $b$ и $c$ — в правую: $100a - 11a = 11b - 10b + 11c - c$ $89a = b + 10c$

Рассмотрим полученное равенство $89a = 10c + b$. В правой части стоит выражение $10c + b$. Поскольку $c$ и $b$ — это цифры от 0 до 9, максимальное значение этого выражения достигается при $c=9$ и $b=9$: $10c + b \le 10 \cdot 9 + 9 = 99$

Следовательно, для левой части уравнения должно выполняться неравенство: $89a \le 99$

Отсюда найдем возможные значения для $a$: $a \le \frac{99}{89}$ $a \le 1.112...$

Так как $a$ — это первая цифра трёхзначного числа, $a$ должно быть целым числом от 1 до 9. Единственное целое значение, удовлетворяющее неравенству $a \le 1.112...$ и условию $a \ge 1$, это $a=1$.

Мы однозначно определили первую цифру числа. Теперь подставим значение $a=1$ в наше уравнение $89a = 10c + b$: $89 \cdot 1 = 10c + b$ $89 = 10c + b$

Это уравнение показывает, что число 89 нужно представить в виде суммы десятков ($10c$) и единиц ($b$). Для числа 89 цифра десятков равна 8, а цифра единиц — 9. Следовательно, $c=8$ и $b=9$. Оба значения являются допустимыми для цифр.

Таким образом, мы нашли единственную комбинацию цифр, удовлетворяющую условию: $a=1, b=9, c=8$. Искомое число $n$ равно 198.

Сделаем проверку. Число $n=198$. Сумма его цифр $S = 1 + 9 + 8 = 18$. Проверим, в 11 ли раз число меньше суммы его цифр: $\frac{n}{S} = \frac{198}{18} = 11$. Условие выполняется.

Ответ: 198.