Номер 414, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 414, страница 103.

Условие.

414. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{-x^2}$;

2) $y = \sqrt{-x^2 - 4x - 4} + 2$;

3) $y = (\sqrt{x})^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \sqrt{-x^2}$

Для построения графика функции найдем ее область определения. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.

$-x^2 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю ($x^2 \ge 0$), единственное значение $x$, удовлетворяющее неравенству $x^2 \le 0$, это $x=0$.

Таким образом, область определения функции состоит из одной-единственной точки $x=0$.

Найдем значение функции в этой точке:

$y = \sqrt{-0^2} = \sqrt{0} = 0$

Следовательно, график данной функции состоит из одной точки — начала координат.

Ответ: График функции — точка с координатами (0, 0).

2) $y = \sqrt{-x^2 - 4x - 4} + 2$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$-x^2 - 4x - 4 \ge 0$

Вынесем минус за скобку:

$-(x^2 + 4x + 4) \ge 0$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Подставим его в неравенство:

$-(x+2)^2 \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$(x+2)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому $(x+2)^2 \ge 0$. Единственное решение, удовлетворяющее условию $(x+2)^2 \le 0$, это $(x+2)^2 = 0$.

Отсюда $x+2 = 0$, то есть $x = -2$.

Область определения функции состоит из одной точки $x=-2$. Найдем значение функции в этой точке:

$y = \sqrt{-(-2)^2 - 4(-2) - 4} + 2 = \sqrt{-4 + 8 - 4} + 2 = \sqrt{0} + 2 = 2$

Таким образом, график данной функции состоит из одной точки.

Ответ: График функции — точка с координатами (-2, 2).

3) $y = (\sqrt{x})^2$

Найдем область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

На всей области определения ($x \ge 0$) мы можем упростить данное выражение. Возведение квадратного корня в квадрат дает подкоренное выражение:

$y = (\sqrt{x})^2 = x$

Следовательно, нам нужно построить график функции $y = x$ при условии $x \ge 0$.

Графиком функции $y=x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных углов. Условие $x \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только ту часть прямой, для которой абсциссы неотрицательны, то есть часть прямой, расположенную в I координатной четверти (включая начало координат).

Таким образом, график функции представляет собой луч, выходящий из точки (0, 0) и совпадающий с биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: График функции — луч $y=x$ при $x \ge 0$.