Номер 408, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 408, страница 103.

Условие.

408. Можно ли утверждать, что при любом значении x имеет смысл выражение:

1) $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} $;

2) $ \sqrt{x^2 - 4x + 5} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы утверждать, что выражение имеет смысл при любом значении $x$, необходимо проверить, является ли подкоренное выражение неотрицательным (то есть большим или равным нулю) для любого действительного значения $x$.

1) $\sqrt{x^2 - 4x + 4}$

Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 - 4x + 4$. Необходимо проверить, выполняется ли неравенство $x^2 - 4x + 4 \ge 0$ при любом $x$.

Данный трехчлен является полным квадратом разности, так как он соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=2$, поэтому:

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

Таким образом, выражение можно записать как $\sqrt{(x-2)^2}$. Условие существования корня принимает вид:

$(x-2)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство верно для любого значения $x$.

Ответ: да, можно утверждать, что данное выражение имеет смысл при любом значении $x$.

2) $\sqrt{x^2 - 4x + 5}$

Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 - 4x + 5$. Необходимо проверить, выполняется ли неравенство $x^2 - 4x + 5 \ge 0$ при любом $x$.

Способ 1: Выделение полного квадрата.

Преобразуем выражение, выделив в нем полный квадрат:

$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1$

Теперь неравенство имеет вид:

$(x-2)^2 + 1 \ge 0$

Так как $(x-2)^2$ всегда больше или равно нулю, то наименьшее значение этого слагаемого равно 0 (при $x=2$). Тогда наименьшее значение всего выражения $(x-2)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$.

Поскольку $1 \ge 0$, подкоренное выражение всегда положительно, а значит, неравенство выполняется для любого значения $x$.

Способ 2: Анализ через дискриминант.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 4x + 5$. Ее график — парабола. Знак этой функции зависит от знака старшего коэффициента и дискриминанта.

Старший коэффициент $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения $x^2 - 4x + 5 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox).

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится выше этой оси. Следовательно, значение трехчлена $x^2 - 4x + 5$ всегда положительно при любом значении $x$.

Ответ: да, можно утверждать, что данное выражение имеет смысл при любом значении $x$.