Номер 404, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 404, страница 102.

Условие.

404. Решите уравнение:

1) $(2x - 3)^2 = 25;$

2) $(x - 3)^2 = 7;$

3) $(2x - 3)^2 = 7.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(2x - 3)^2 = 25$

Данное уравнение представляет собой квадрат выражения, равный числу. Чтобы решить его, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень из числа может быть как положительным, так и отрицательным.

$2x - 3 = \sqrt{25}$ или $2x - 3 = -\sqrt{25}$

Так как $\sqrt{25} = 5$, получаем два линейных уравнения:

Случай 1:

$2x - 3 = 5$

$2x = 5 + 3$

$2x = 8$

$x = \frac{8}{2}$

$x_1 = 4$

Случай 2:

$2x - 3 = -5$

$2x = -5 + 3$

$2x = -2$

$x = \frac{-2}{2}$

$x_2 = -1$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: -1; 4.

2) $(x - 3)^2 = 7$

Аналогично первому примеру, извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения.

$x - 3 = \sqrt{7}$ или $x - 3 = -\sqrt{7}$

Число 7 не является полным квадратом, поэтому корень из него является иррациональным числом. Оставляем его в виде $\sqrt{7}$.

Выражаем $x$ для каждого из двух случаев:

Случай 1:

$x_1 = 3 + \sqrt{7}$

Случай 2:

$x_2 = 3 - \sqrt{7}$

Оба решения можно записать в сокращенной форме.

Ответ: $3 \pm \sqrt{7}$.

3) $(2x - 3)^2 = 7$

Снова применяем метод извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения.

$2x - 3 = \sqrt{7}$ или $2x - 3 = -\sqrt{7}$

Получаем два линейных уравнения относительно $x$.

Случай 1:

$2x = 3 + \sqrt{7}$

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$

Случай 2:

$2x = 3 - \sqrt{7}$

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$

Объединяем два корня в одну запись.

Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$.