Номер 400, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 400, страница 102.

Условие.

400. При каких значениях y имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{2y}$;

2) $\sqrt{-3y}$;

3) $\sqrt{y^3}$;

4) $\sqrt{-y^3}$;

5) $\sqrt{-y^4}$;

6) $\frac{1}{\sqrt{y}}$;

7) $\frac{1}{\sqrt{y-1}}$;

8) $\frac{1}{\sqrt{y+1}}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы выражение $\sqrt{2y}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть большим или равным нулю.
Составим и решим неравенство:
$2y \ge 0$
Разделим обе части на 2:
$y \ge 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$, больших или равных 0.
Ответ: $y \ge 0$.

2) Для того чтобы выражение $\sqrt{-3y}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$-3y \ge 0$
Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный:
$y \le 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$, меньших или равных 0.
Ответ: $y \le 0$.

3) Для того чтобы выражение $\sqrt{y^3}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$y^3 \ge 0$
Куб числа является неотрицательным тогда и только тогда, когда само число неотрицательно.
$y \ge 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$, больших или равных 0.
Ответ: $y \ge 0$.

4) Для того чтобы выражение $\sqrt{-y^3}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$-y^3 \ge 0$
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:
$y^3 \le 0$
Куб числа является неположительным тогда и только тогда, когда само число неположительно.
$y \le 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$, меньших или равных 0.
Ответ: $y \le 0$.

5) Для того чтобы выражение $\sqrt{-y^4}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$-y^4 \ge 0$
Выражение $y^4$ всегда неотрицательно для любого действительного значения $y$, так как показатель степени чётный ($y^4 \ge 0$).
Следовательно, выражение $-y^4$ всегда неположительно ($-y^4 \le 0$).
Неравенство $-y^4 \ge 0$ выполняется только в одном случае, когда $-y^4 = 0$.
$-y^4 = 0 \implies y^4 = 0 \implies y = 0$.
Таким образом, выражение имеет смысл только при $y = 0$.
Ответ: $y = 0$.

6) В выражении $\frac{1}{\sqrt{y}}$ корень находится в знаменателе. Это накладывает два условия:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $y \ge 0$.
2. Знаменатель не может быть равен нулю: $\sqrt{y} \ne 0$, что означает $y \ne 0$.
Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным.
$y > 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$ строго больше 0.
Ответ: $y > 0$.

7) В выражении $\frac{1}{\sqrt{y-1}}$ корень находится в знаменателе. Следовательно, подкоренное выражение должно быть строго положительным.
Составим и решим неравенство:
$y - 1 > 0$
Перенесем 1 в правую часть:
$y > 1$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$ строго больше 1.
Ответ: $y > 1$.

8) В выражении $\frac{1}{\sqrt{y}+1}$ есть корень в знаменателе. Рассмотрим два условия:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $y \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{y} + 1 \ne 0$.
Решим уравнение $\sqrt{y} + 1 = 0$.
$\sqrt{y} = -1$.
Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Значит, $\sqrt{y} \ge 0$, и $\sqrt{y} + 1 \ge 1$.
Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю при допустимых значениях $y$.
Остается только первое условие: $y \ge 0$.
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$, больших или равных 0.
Ответ: $y \ge 0$.